½½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØØ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙº È ÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ò
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ¸ y n+1 ¸ ¸×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ
ÐÐ ØØØÐÐÐ y n º Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÖÓÓغ ÄÄ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ
ÔÔÖÖÖÓÐÐ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ×Ø ØØØØÒØ Ô Ó Ù Ö y n = y c /2¸ ¸ ÚÚÒØ ÖÓÓØÖÖº
ÅÅÐÐÖÖ ÐÐ ××ÑÔÐÐÐÐØØ ÓÒÒÒÖØØÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ¸
ÐÐÐ ÖÖÖÓÙÚÖÖ ÙÒÒ ÖÖÖÖÖ××× ×ÙÖÔÖÖÒÒÒØØ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ׸ ÕÙÙ Ò¹
ØÖÖÖÙÙ ÐÙÙ ÓÙ ÐÐÐ ÕÙÙ ÓÙÚÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ× ØÝÔÔ ³³ÕÙÙØØÓÒ׺
ÌÓÙØ Ð ×Ø ³Ù×××× ³³³³³ØÙÙÖ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ Ø
k = 4a , x n = y n /y c ,
´´º¾µ
ÓÓ a ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ÔÓ××ØØغ ÚÚÚ × ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ÓÔØØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
x n+1 = 4ax n (1 − x n ) .
´´º¿µ
ÈÓÙÖ ÚÚØØÖ × ÒÓÑÖÖ× ÒÒÒÒØØØ׸ Ò³³ÝÝÒØ ÙÙÙÒ ××Ò× Ò× ÒÓØÖÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x n
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1]¸ ¸¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ ÕÙÙ y n ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ð ³ Ò ¹
ØØÖÚÚÐÐÐ [0, y c ] ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÚÚÖÖÖ ÒØÖÖ ¼ ´´´×ÔÔÖÖØØÓÒ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒµ Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÑÑÜÜÑÑÐÐ y c ÕÙÙ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ × Ù ÑÑÐÐÐÙº
º¾ ÇÇ Ð³³ÚÚÒÒÖ ³ÙÒÒ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÒÒ ³ÙÒ
××ÙÐ ÒÒÒÚÚÚÙ
ØØØ ×××ØØÓÒ ×Ø ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ÔÔÔÔÔÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÔÓÔÙÐй
ØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ Ò ØÓÙØ ÔÖÖÑÑÑÖ ÐÐÐÙ¸ ¸Ð ×Ø ÖÖÖ×ÓÒÒÒÒÐÐ ÓÒ××××ÖÖÖ
ÐÐ× ØØÙÖ× ×××ÒÒÒÒÒØØØ× ÓÙÙÒØ Ø Ó Ò Ò Ð Ñ Ò ØØØÖÖ ×ÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ØØØÐÐÐ
ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒº ÄÄ ÖÖÔÖÓÓÙÙØØÓÒ Ò ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ×××ÒØØØÐ ÐÐ ØØÑÔ×
×ØØØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÐÐÔÔÒ× ØØÒØ ¿¼ ÓÙÖ׸ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³³ØÙÙÙ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ Ù ÑÓÓ׺ ÆÓØÓÒ× x N ÐÐ ÒÓѹ
ÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÙÜ ØØÖÑÑ× N ÑÓÓ×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ù ÓÙØ
ÕÙÙ ÑÓÓ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ØÙÙÖ ÐÐ× ØØÖØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØØ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙº È ÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ò
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ¸ y n+1 ¸ ¸×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ
ÐÐ ØØØÐÐÐ y n º Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÖÓÓغ ÄÄ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ
ÔÔÖÖÖÓÐÐ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ×Ø ØØØØÒØ Ô Ó Ù Ö y n = y c /2¸ ¸ ÚÚÒØ ÖÓÓØÖÖº
ÅÅÐÐÖÖ ÐÐ ××ÑÔÐÐÐÐØØ ÓÒÒÒÖØØÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ¸
ÐÐÐ ÖÖÖÓÙÚÖÖ ÙÒÒ ÖÖÖÖÖ××× ×ÙÖÔÖÖÒÒÒØØ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ׸ ÕÙÙ Ò¹
ØÖÖÖÙÙ ÐÙÙ ÓÙ ÐÐÐ ÕÙÙ ÓÙÚÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ× ØÝÔÔ ³³ÕÙÙØØÓÒ׺
ÌÓÙØ Ð ×Ø ³Ù×××× ³³³³³ØÙÙÖ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ Ø
k = 4a , x n = y n /y c ,
´´º¾µ
ÓÓ a ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ÔÓ××ØØغ ÚÚÚ × ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ÓÔØØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
x n+1 = 4ax n (1 − x n ) .
´´º¿µ
ÈÓÙÖ ÚÚØØÖ × ÒÓÑÖÖ× ÒÒÒÒØØØ׸ Ò³³ÝÝÒØ ÙÙÙÒ ××Ò× Ò× ÒÓØÖÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x n
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1]¸ ¸¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ ÕÙÙ y n ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ð ³ Ò ¹
ØØÖÚÚÐÐÐ [0, y c ] ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÚÚÖÖÖ ÒØÖÖ ¼ ´´´×ÔÔÖÖØØÓÒ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒµ Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÑÑÜÜÑÑÐÐ y c ÕÙÙ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ × Ù ÑÑÐÐÐÙº
º¾ ÇÇ Ð³³ÚÚÒÒÖ ³ÙÒÒ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÒÒ ³ÙÒ
××ÙÐ ÒÒÒÚÚÚÙ
ØØØ ×××ØØÓÒ ×Ø ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ÔÔÔÔÔÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÔÓÔÙÐй
ØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ Ò ØÓÙØ ÔÖÖÑÑÑÖ ÐÐÐÙ¸ ¸Ð ×Ø ÖÖÖ×ÓÒÒÒÒÐÐ ÓÒ××××ÖÖÖ
ÐÐ× ØØÙÖ× ×××ÒÒÒÒÒØØØ× ÓÙÙÒØ Ø Ó Ò Ò Ð Ñ Ò ØØØÖÖ ×ÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ØØØÐÐÐ
ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒº ÄÄ ÖÖÔÖÓÓÙÙØØÓÒ Ò ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ×××ÒØØØÐ ÐÐ ØØÑÔ×
×ØØØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÐÐÔÔÒ× ØØÒØ ¿¼ ÓÙÖ׸ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³³ØÙÙÙ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ Ù ÑÓÓ׺ ÆÓØÓÒ× x N ÐÐ ÒÓѹ
ÖÖ ³³ÒÒÒÚÚÚÙ× ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÙÜ ØØÖÑÑ× N ÑÓÓ×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ù ÓÙØ
ÕÙÙ ÑÓÓ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ØÙÙÖ ÐÐ× ØØÖØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×