º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½½
ÄÄ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ × ÓÑÑÑÒÒ× ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ Ò ÕÙÙ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ØÖÓÓØØ ´´´ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò h
2
µ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´´ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò hµº
Ø Ù
ÄÄ ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø ÔÖÖ× Ò ÓÑÔØØ Ò ÓÙØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ 2λ ˙
θ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÓÓ λ ×Ø ÙÒ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
¨
θ + 2λ ˙
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ωet)]θ = 0 .
´´ºººµ
ÄÄ ØØØÓÖÖÑÑ ÖÖ×ØØ ÔÔÐÐÐÐÐÐи Ø Ò ×ÙÙÚÒØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÙÙ
ÑÑÒÒ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ô Ð Ù ×
ÓÑÔÐÐÕÙÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ×ÓÓØ
ω
4 + 4λω
3 + [
ω
2
e
2
+ 4λ
2 + 2ω
2
0 ]ω
2 + [ω
2
e λ + 4ω
2
0 λ]ω
+[ω
2
0 −
ω
2
e
4
]
2 −
h
2
4
ω
4
0 + λ
2 ω
2
e = 0 .
´´ºººµ
ÈÓÙÖ ØØØÐÐÖ ÖÖ×ÙÐØØظ Ð ×ÙÙØ ÖÖÑÑÖÕÙÙÖ ÕÙÙ Ò× ÐÐ × ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ Ø Ò ×× ÐÐÑÑØØÒØ ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ÓÑÑÒÒÒØ׸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ØØÖÑÑ ×ÙÔÔÐÐÑÑÒØØØÖÖ 2λω0b0¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÓØØØ Ù ØØÖÑÑ −2λω0b0º ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù
Ù ×Ý×ØØÑѸ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ a0 = b0 = 0¸ ÓÒÒÙÙØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµº ÄÄ ÐÐÑÑØØ ×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ
Ò ÔÓ××ÒØ ω = 0 Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºººº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
= ±
r
(
hω0
2
) 2 − 4λ 2 ;
´´ºººµ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÒÒÑÑÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ú ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø
Ò×× ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
hmin =
4λ
ω0
.
´´ºººµ
ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÔÐÙ× × ÓÑÔÔÖÖØØÚÑÑÒØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐк ØØÖÑѹ
ÒÓÒ׸ ØÓÙØ ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ
Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒظ ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ θ¸ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÓÔØØØ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÖÑÓÒÒÕÙÙ ××Ò× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µº ij³³³Ø Ù ÑÓÓÓÓÓ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¿µ Ò ÒÒÐÙÙÒØ Ø Ò Ó Ù Ú ÐÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ× 2λω0b0¸ −2λω0a0¸
4λω0b0¸ 2λω0a0 ÑÓÓÙÐÐÒØ ÐÐ× ÔÐÐÐÐ× ÚÚÒØ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× sinus Ø cosinusº
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ × ØØÖÑÑÒÒ ÐÓÖ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÓÒ×ØØÒØØ× a0¸ b0¸ a1
Ø b1 Ð Ú ÐÐÙÖ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ c1 ×Ø ÒØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ´´ººº
c1 = −ha0/2µº
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÑÔÔØØØØÐÐØØ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ× ÞÓÒÒ× ³³Ò×ØØØØÐÐØغ Ò ××ÑÔÐÐÐÐÖ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ØÙÓÒ× ÙÒ ÐÐÑÑØØ Ù ÔÐÙ× × ÓÖÖÖÖ
Ò h Ø λ ´´Ò ÒÒÒÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò h
2 λ
2
ÚÒØ h
4 ω
2
0 µº ÄÄ× ÙÜ ÓÖÒÒ×
½½½
ÄÄ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ × ÓÑÑÑÒÒ× ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ Ò ÕÙÙ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ØÖÓÓØØ ´´´ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò h
2
µ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´´ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò hµº
Ø Ù
ÄÄ ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø ÔÖÖ× Ò ÓÑÔØØ Ò ÓÙØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ 2λ ˙
θ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÓÓ λ ×Ø ÙÒ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
¨
θ + 2λ ˙
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ωet)]θ = 0 .
´´ºººµ
ÄÄ ØØØÓÖÖÑÑ ÖÖ×ØØ ÔÔÐÐÐÐÐÐи Ø Ò ×ÙÙÚÒØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÙÙ
ÑÑÒÒ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ô Ð Ù ×
ÓÑÔÐÐÕÙÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ×ÓÓØ
ω
4 + 4λω
3 + [
ω
2
e
2
+ 4λ
2 + 2ω
2
0 ]ω
2 + [ω
2
e λ + 4ω
2
0 λ]ω
+[ω
2
0 −
ω
2
e
4
]
2 −
h
2
4
ω
4
0 + λ
2 ω
2
e = 0 .
´´ºººµ
ÈÓÙÖ ØØØÐÐÖ ÖÖ×ÙÐØØظ Ð ×ÙÙØ ÖÖÑÑÖÕÙÙÖ ÕÙÙ Ò× ÐÐ × ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ Ø Ò ×× ÐÐÑÑØØÒØ ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ÓÑÑÒÒÒØ׸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ØØÖÑÑ ×ÙÔÔÐÐÑÑÒØØØÖÖ 2λω0b0¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÓØØØ Ù ØØÖÑÑ −2λω0b0º ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù
Ù ×Ý×ØØÑѸ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ a0 = b0 = 0¸ ÓÒÒÙÙØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµº ÄÄ ÐÐÑÑØØ ×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ
Ò ÔÓ××ÒØ ω = 0 Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºººº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
= ±
r
(
hω0
2
) 2 − 4λ 2 ;
´´ºººµ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÒÒÑÑÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ú ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø
Ò×× ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
hmin =
4λ
ω0
.
´´ºººµ
ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÔÐÙ× × ÓÑÔÔÖÖØØÚÑÑÒØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐк ØØÖÑѹ
ÒÓÒ׸ ØÓÙØ ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ
Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒظ ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ θ¸ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÓÔØØØ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÖÑÓÒÒÕÙÙ ××Ò× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µº ij³³³Ø Ù ÑÓÓÓÓÓ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¿µ Ò ÒÒÐÙÙÒØ Ø Ò Ó Ù Ú ÐÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ× 2λω0b0¸ −2λω0a0¸
4λω0b0¸ 2λω0a0 ÑÓÓÙÐÐÒØ ÐÐ× ÔÐÐÐÐ× ÚÚÒØ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× sinus Ø cosinusº
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ × ØØÖÑÑÒÒ ÐÓÖ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÓÒ×ØØÒØØ× a0¸ b0¸ a1
Ø b1 Ð Ú ÐÐÙÖ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ c1 ×Ø ÒØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ´´ººº
c1 = −ha0/2µº
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÑÔÔØØØØÐÐØØ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ× ÞÓÒÒ× ³³Ò×ØØØØÐÐØغ Ò ××ÑÔÐÐÐÐÖ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ØÙÓÒ× ÙÒ ÐÐÑÑØØ Ù ÔÐÙ× × ÓÖÖÖÖ
Ò h Ø λ ´´Ò ÒÒÒÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò h
2 λ
2
ÚÒØ h
4 ω
2
0 µº ÄÄ× ÙÜ ÓÖÒÒ×