½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ × ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÙÙØ ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× ÖÖÖÖÖ× ÐÐ×
ÙÜ ÖÒÒÒÖ× ØØÖÑÑ× ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a1 Ø b1 ØØÐ× ÕÙÙ a1 = ha0/16¸ b1 =
hb0/16¸ Ø ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖÑÑ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ω0±hω
2
0 /2+
2 /4−
h
2 ω
2
0 /32 = 0º ü гÓÖÖÖÖ h
2
¸ ÐÐ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÐÐÑÑØØ× ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
= ±
1
2
hω0 −
h
2 ω0
32
.
´´ºººµ
ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÐÐ ÔÖÖ×× Ò
ÓÑÔØØ ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÒÒ
Ø ÕÙÙ ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ Ð³ÓÖÖÖÖ h
2
¸ ÓÒÒ ÔÖÓÓÙÙ××ÒØ
ÙÒ Ø ×ÓÙ×¹¹ÓÑÑÒÒÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ØØÖÑÑ× Ð³ÓÖÖÖÖ hº
ÊÊ×ÓÒÒÒÒÒ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ØÙÙÙÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐи ÕÙÙ ×× ÑÑÒÒÒÒ×ØØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ×Ø ÐÐ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ωe = ω0¸
Ø ÔÐÐÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÔÖÓÜÜÑÑØØ ØØØ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ò ÔÓ××ÒØ
ωe = ω0 +
´´ºº¼µ
ÓÓ ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ÔÖÖÒÒ
ÐÓÖ× ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ω0 + )t]θ = 0 .
´´ºº½µ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
a0 cos(ω0 + )t + b0 sin(ω0 + )t + a1 cos 2(ω0 + )t + b1 sin 2(ω0 + )t + c1 , ´´ºº¾µ
ÓÓ a0, a1, b0, b1, c1 ×ÓÒØ × ØØÖÑÑÒÒÖº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÓÓ × Ø Ø Ð ³ Ó Ö Ö h ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÓÒ Ú Ú ÓÓÖ ÕÙ³³Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³ÓÖÖÖÖ h
2
´ h
2
µ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ÔÖÖÒÒÖÖ Ð³³³Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ ×ÙÙÚÒØØ ´´ººº 2ωe = ω0µ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ¸ Ò ÔÖÖ××ÖÚÚÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ Ù
Ú ÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÙÒ ØØÖÑÑ ³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÞÞÖÓ ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ
ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ h cos(ω0 + )t Ú a0 cos(ω0 + )t ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ¸ ÓÙØÖÖ Ð³³³Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ Ùܸ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ
ÒÓØØØ c1º ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÖ¹
´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÚÐÓÔÔÔÔ ¹¹ÚÚÒØ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºº½µ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
»
−2a0ω0 +
hω
2
0 a1
2
+ hω
2
0 c1
–
cos(ω0 + )t +
»
−2b0ω0 +
hω
2
0 b1
2
–
sin(ω0 + )t
+
»
−3a1ω
2
0 +
ω
2
0 a0h
2
–
cos 2(ω0 + )t +
»
−3b1ω
2
0 +
hω
2
0 b0
2
–
sin 2(ω0 + )t
+
»
c1ω
2
0 +
h
2
ω
2
0 a0
–
= 0
´´ºº¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ ´´Ò ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒØÖÖ ÖÓÓØ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¿µ
ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ× ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a1 = ha0/6¸ b1 = hb0/6¸ c1 = −ha0/2¸
Ø ÐÐ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
− = −
5h
2 ω0
24
, ,+ =
h
2 ω0
24
.
´´ºººµ
ÆÓØÓÒ× Ò Ø ÕÙÙ cos 2 (x) = [1 + cos(2x)]/2º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ × ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÙÙØ ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× ÖÖÖÖÖ× ÐÐ×
ÙÜ ÖÒÒÒÖ× ØØÖÑÑ× ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a1 Ø b1 ØØÐ× ÕÙÙ a1 = ha0/16¸ b1 =
hb0/16¸ Ø ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖÑÑ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ω0±hω
2
0 /2+
2 /4−
h
2 ω
2
0 /32 = 0º ü гÓÖÖÖÖ h
2
¸ ÐÐ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÐÐÑÑØØ× ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
= ±
1
2
hω0 −
h
2 ω0
32
.
´´ºººµ
ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÐÐ ÔÖÖ×× Ò
ÓÑÔØØ ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÒÒ
Ø ÕÙÙ ÐÐ ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ Ð³ÓÖÖÖÖ h
2
¸ ÓÒÒ ÔÖÓÓÙÙ××ÒØ
ÙÒ Ø ×ÓÙ×¹¹ÓÑÑÒÒÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ØØÖÑÑ× Ð³ÓÖÖÖÖ hº
ÊÊ×ÓÒÒÒÒÒ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ØÙÙÙÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐи ÕÙÙ ×× ÑÑÒÒÒÒ×ØØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ×Ø ÐÐ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ωe = ω0¸
Ø ÔÐÐÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÔÖÓÜÜÑÑØØ ØØØ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ò ÔÓ××ÒØ
ωe = ω0 +
´´ºº¼µ
ÓÓ ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ÔÖÖÒÒ
ÐÓÖ× ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ω0 + )t]θ = 0 .
´´ºº½µ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
a0 cos(ω0 + )t + b0 sin(ω0 + )t + a1 cos 2(ω0 + )t + b1 sin 2(ω0 + )t + c1 , ´´ºº¾µ
ÓÓ a0, a1, b0, b1, c1 ×ÓÒØ × ØØÖÑÑÒÒÖº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÓÓ × Ø Ø Ð ³ Ó Ö Ö h ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÓÒ Ú Ú ÓÓÖ ÕÙ³³Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³ÓÖÖÖÖ h
2
´ h
2
µ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ÔÖÖÒÒÖÖ Ð³³³Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ ×ÙÙÚÒØØ ´´ººº 2ωe = ω0µ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ¸ Ò ÔÖÖ××ÖÚÚÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ Ù
Ú ÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÙÒ ØØÖÑÑ ³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÞÞÖÓ ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ
ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ h cos(ω0 + )t Ú a0 cos(ω0 + )t ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ¸ ÓÙØÖÖ Ð³³³Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ Ùܸ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ
ÒÓØØØ c1º ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÖ¹
´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÚÐÓÔÔÔÔ ¹¹ÚÚÒØ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºº½µ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
»
−2a0ω0 +
hω
2
0 a1
2
+ hω
2
0 c1
–
cos(ω0 + )t +
»
−2b0ω0 +
hω
2
0 b1
2
–
sin(ω0 + )t
+
»
−3a1ω
2
0 +
ω
2
0 a0h
2
–
cos 2(ω0 + )t +
»
−3b1ω
2
0 +
hω
2
0 b0
2
–
sin 2(ω0 + )t
+
»
c1ω
2
0 +
h
2
ω
2
0 a0
–
= 0
´´ºº¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ ´´Ò ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒØÖÖ ÖÓÓØ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¿µ
ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ× ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a1 = ha0/6¸ b1 = hb0/6¸ c1 = −ha0/2¸
Ø ÐÐ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
− = −
5h
2 ω0
24
, ,+ =
h
2 ω0
24
.
´´ºººµ
ÆÓØÓÒ× Ò Ø ÕÙÙ cos 2 (x) = [1 + cos(2x)]/2º