º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½½
ÓÓ a0 Ø b0 ×ÓÒظ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÙÜ ÓÒÒØØÓÒ× Ù ØØÑÔ׸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ a0, b0 ∼ e
ωt
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº ÇÖ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÒÒ ÔÔÖ ω = 0 ´ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ÐÐ
ÙÖÖÖØØÓÒµº ËË ÒÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× Ù×ØØ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÒÒÙØÖÖ ××ÔÔÖÖÒØ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ
×ØØØÐÐ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ Ò×ØØØÐÐ ´´ г³Ò×ØØÖ ÐÐ ÙÖÖ º½µ¸ Ð ×ÙÙØ ÔÓ××Ö ³³ÑÑÐÐÐ
ω = 0 ´Ð³³ÐÐÐÐÖÖ ×× ØÖÓÙÚÚ Ò×× ××ÑÔÐÐÐÐеº ÓÒ××××ÖÖÖ a0
Ø b0 ÓÑÑÑ × ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ θ(t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¿µ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
»
−a0(ω0 +
2
4
) +
hω
2
0 a0
2
–
cos(ω0 +
2
)t
+
»
−b0(ω0 +
2
4
) −
hω
2
0 b0
2
–
sin(ω0 +
2
)t = 0 .
´´ºººµ
ÔÖÖ× × × ÓÒÒØØÓÒ× ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ
= ±
1
2
hω0 .
´´ºººµ
ÄÄ ÓÑÑÑÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
|| <
1
2
hω0 .
´´ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒ××ÖÚÚ ÐÐ ØØÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒØ Ò º ÆÓØÓÒ× Ù××× ÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ h ×Ø
×ÙÔÔÓ×× ÔÔØØظ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò hh ×ÓÒØ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖº ÄÄ ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ ¹¹ÚÚÒØ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×Ø ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÙÙ ÕÙÙ ØØ ÓÓØØÒÙ Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ò× ÐÐÕÙÙи Ò ÐÐ ØØÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒØ
Ò ¸ ÒÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× ωe = 2ω0 + º ³³³ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ò³³
××Ò× ÕÙ³³Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ω0¸ Ø Ð ×ظ ÔÔÖ ÔÐÙ× ÙÙÙÙÙÙÙÜ ×× ÐÐÑÑØØÖ ÙÒ
Ú Ù ÔÐÙ× × ÓÖÖÖÖ Ò ωe − 2ω0 ≡ º
Ø × ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ×ÙÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ij³ØÙÙÙ × ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÙÒ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÙÚÒØ׺ ÄÄ ÔÖÓÓÙÙØ h cos(2ω0+
)t Ø a0 cos(ω0 + /2)t ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ × ØØÖÑÑ× Ò cos 3(ω0 + /2)t ÕÙÙ ÓÒØ ØØ ÒÒÒÐÐÐÐ׺
ÈÖ ×ÓÙÙÙ ÓÓÓÖÖÒÒÒ¸ ÐÐÙÖ ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ÒÓÙ× ÐÐÑÑÒØ Ø ÖÖÖ ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
θ(t) = a0 cos(ω0 +
2
)t + b0 sin(ω0 +
2
)t + a1 cos 3(ω0 +
2
)t
+b1 sin 3(ω0 +
2
)t .
´´ºººµ
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ × ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ØÖÓÓ×
»
−a0(ω0 +
2
4
) +
hω
2
0 a0
2
+
hω
2
0 a1
2
–
cos(ω0 +
2
)t +
+
»
−b0(ω0 +
2
4
) −
hω
2
0 b0
2
+
hω
2
0 b1
2
–
sin(ω0 +
2
)t +
+
»
hω
2
0 a0
2
− 8ω
2
0 a1
–
cos 3(ω0 +
2
)t +
+
»
hω
2
0 b0
2
− 8ω
2
0 b1
–
sin 3(ω0 +
2
)t = 0
´´ºººµ