º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½¿
ÁÐ ÖÖ×ØØ ÜÜÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R = 0º ij³ÕÙÙØØÓÒ R(t) Ù
×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¼µ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü R = 0 ÓÒÒÙÙØ
R 1 = [μ − α cos(2θ 0 )]R 1
´´º¿¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ R 1 ∼ e
ωt
ÚÚÚ ω = μ − α cos(2θ 0 ) = μ ±
√
α 2 − ν 2 º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø ×ØØØÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ׺
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ μ +
√
α 2 − ν 2 ×ÓÓØ ÒÒÒÒØØÚ
μ < 0º ÈÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ω < 0¸ Ð ÙØ Ò ÓÙØÖÖ ÕÙÙ μ <
−
√
α 2 − ν 2 º × ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒ× ×ØØØØÐÐØØ ÔÓÙÖ ω = 0
´ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÒÙÐÐе¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò ÐÐ
ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (ν, μ) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ×ØØØÐк
ij³ØØØ R = 0 Ò ××ÓÙ× ÐÐ ÔÔÖÖÖÓÐÐ ×Ø Ø ØØØ ÓÖº º Ò Ò Ø ¸ × R = 0 ´´ÓÒÒ
A = B = 0µ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö
ÈÓÐ ÓÖÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ٠гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ××ÑÔÐÐÑÑÒØ
ÓÖÖÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜØØÖÒÒ ω e º
ÄÓÖ×ÕÙÙ R = 0¸ г³ØØØ ×Ø Ø Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ´´ÓÒØ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ
ÔÖÓÔÖÖ ×Ø ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ω 0 ¸ г³Ò×ØØÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒÓÒ ÓÖÖÖµ ׳³³³ÖÓÓÓÓ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ω e p/n
г³ÜÜÜØØØØÓÒ ´´´´¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× Ù × n = 2µº ÄÄ ÖÖÒÒÒ ÔÔÔ××
ÒØÖÖ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ Ø ÐÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÚÚÖÖÓÙÙÐÐÐÐ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ θ 0 º
ÄÄ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÓÙÖ R = 0 ÓÒÒÙÙØ
R
2
0 = μ +
α 2 − ν 2 ,
´´º¿¿µ
Ú μ +
√
α 2 − ν 2 > 0º ظ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜ×ØØ Ù¹¹¹××Ù× ÐÐ
ÔÔÖÖÖÓÐÐ ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (ν, μ) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ µ ÖÖÖÖ ÙÒÒ ØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØØØÐÐÖ ÕÙÙ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ´´´´ÓÓÒØØ ÐÐ ÔÔÔ×× θ 0 = π +arcsin(
ν
α )µ
×Ø ×ØØØÐк
ÄÄ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒÖÖÐÐ Ò B
ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ØÝÔÔ F cos(nω 0 t/p)
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ µÓÒÒÒÒØ Ø
∂ t R = μR − R
3
− αR cos(2θ) ,
∂ t θ = ν + α sin(2θ) .
´´ºº¼µ
Ò× ÐÐ × ÓÓ |ν/α| > 1¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ θ¸ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÒÒÖÖÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÓÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒÒºº¼µ¸ ÚÚÚÒØ ÙÒÒ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ´´´× ÙÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ ××ÙÐÐ
´ØÙÑÐÐÒÒµ µÙ ÔÔÒÒÙÐÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿ººººµ µ ÓÑÑÑ R ×Ø ÓÙÔÐÐ θ¸ R Ó×¹
ÐÐÐ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ ÄÓÖ×ÕÙÙ |ν/α| < 1¸ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×ÙÖÚÚÚÒØ Õ Ù
ÑÑÖÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ØØØ ÖÓ ÚÖ× ÙÒ ØØØ ÕÙÙ××ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÕÙÙ×× ×× ÖÖÖÖÖÖ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÒØÖÖÒ××ÕÙÙÑÑÒØ
ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙº
½½¿
ÁÐ ÖÖ×ØØ ÜÜÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R = 0º ij³ÕÙÙØØÓÒ R(t) Ù
×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¼µ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü R = 0 ÓÒÒÙÙØ
R 1 = [μ − α cos(2θ 0 )]R 1
´´º¿¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ R 1 ∼ e
ωt
ÚÚÚ ω = μ − α cos(2θ 0 ) = μ ±
√
α 2 − ν 2 º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø ×ØØØÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ׺
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ μ +
√
α 2 − ν 2 ×ÓÓØ ÒÒÒÒØØÚ
μ < 0º ÈÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ω < 0¸ Ð ÙØ Ò ÓÙØÖÖ ÕÙÙ μ <
−
√
α 2 − ν 2 º × ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒ× ×ØØØØÐÐØØ ÔÓÙÖ ω = 0
´ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÒÙÐÐе¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò ÐÐ
ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (ν, μ) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ×ØØØÐк
ij³ØØØ R = 0 Ò ××ÓÙ× ÐÐ ÔÔÖÖÖÓÐÐ ×Ø Ø ØØØ ÓÖº º Ò Ò Ø ¸ × R = 0 ´´ÓÒÒ
A = B = 0µ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö
ÈÓÐ ÓÖÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ٠гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ××ÑÔÐÐÑÑÒØ
ÓÖÖÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜØØÖÒÒ ω e º
ÄÓÖ×ÕÙÙ R = 0¸ г³ØØØ ×Ø Ø Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ´´ÓÒØ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ
ÔÖÓÔÖÖ ×Ø ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ω 0 ¸ г³Ò×ØØÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒÓÒ ÓÖÖÖµ ׳³³³ÖÓÓÓÓ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ω e p/n
г³ÜÜÜØØØØÓÒ ´´´´¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× Ù × n = 2µº ÄÄ ÖÖÒÒÒ ÔÔÔ××
ÒØÖÖ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ Ø ÐÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÚÚÖÖÓÙÙÐÐÐÐ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ θ 0 º
ÄÄ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÓÙÖ R = 0 ÓÒÒÙÙØ
R
2
0 = μ +
α 2 − ν 2 ,
´´º¿¿µ
Ú μ +
√
α 2 − ν 2 > 0º ظ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜ×ØØ Ù¹¹¹××Ù× ÐÐ
ÔÔÖÖÖÓÐÐ ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (ν, μ) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ µ ÖÖÖÖ ÙÒÒ ØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØØØÐÐÖ ÕÙÙ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ´´´´ÓÓÒØØ ÐÐ ÔÔÔ×× θ 0 = π +arcsin(
ν
α )µ
×Ø ×ØØØÐк
ÄÄ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒÖÖÐÐ Ò B
ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ØÝÔÔ F cos(nω 0 t/p)
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ µÓÒÒÒÒØ Ø
∂ t R = μR − R
3
− αR cos(2θ) ,
∂ t θ = ν + α sin(2θ) .
´´ºº¼µ
Ò× ÐÐ × ÓÓ |ν/α| > 1¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ θ¸ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÒÒÖÖÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÓÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒÒºº¼µ¸ ÚÚÚÒØ ÙÒÒ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ´´´× ÙÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ ××ÙÐÐ
´ØÙÑÐÐÒÒµ µÙ ÔÔÒÒÙÐÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿ººººµ µ ÓÑÑÑ R ×Ø ÓÙÔÐÐ θ¸ R Ó×¹
ÐÐÐ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ ÄÓÖ×ÕÙÙ |ν/α| < 1¸ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×ÙÖÚÚÚÒØ Õ Ù
ÑÑÖÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ØØØ ÖÓ ÚÖ× ÙÒ ØØØ ÕÙÙ××ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÕÙÙ×× ×× ÖÖÖÖÖÖ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÒØÖÖÒ××ÕÙÙÑÑÒØ
ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙº