½½¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐÙÐ ÓÔØØØ× ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÝÔÔ
I 0 = B(T )e
ipωet/n
+ c.c.
´´º¿¿µ
ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ t → t+2π/ω e
ÑÔÓ×× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ B ÓÓØ ØÖÖ Ò¹
ÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ B → Be
ipωet/n
+ c.c. ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ×ÙÙÚÒØ× dB/dT, B, |B|
2 B ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÒØ ØÓÙ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÑÑÒÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ (dB/dT, B, |B|
2 B) → (dB/dT, B, |B|
2 B)e
2ipπ/n
º ij³ÒÚÚÖÖ¹
ÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙØÓÖÖ×× × ØØÖÑÑ× ÐÐ ÓÖÑÑ B
∗n−1
º º Ò Ò Ø ¸
гÓÔÔÖÖØØÓÒ B → Be
ipωet/n
+ c.c. ÒØÖÖÖÒÒ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ B
∗n−1
Ò B
∗n−1 e
2ipπ e
2ipπ/n
= B
∗n−1 e
2ipπ/n
¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐÐ × ØØÖÑÑ×
(dB/dT, B, |B|
2 B)º Ò×׸ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÓÓØ ÚÚÖÖÖÖÖ B
×Ø ÐÐ ×ÙÙÚÒØØ
dB
dT
= (μ + iν)B − β|B|
2 B − αB
∗n−1 ,
´´º¿¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× β > 0 ´´ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓе
Ø ÖÖÖÐ º α¸ ÖÖÐÐÐ Ù ÓÖÖÖÖÖ¸ ×Ø ÖÖÖÐ ÄÄ × ÙÖÖ ××ÙØØ
Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ n = 1º
ÄÄ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ÑÑ×ÙÖÖ ÐÐ ÙØÓÙÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
´´Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙÙ ω 1 Ò× ÐÐ × n = 1µº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØØÖ Ù ×
n = 2 ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ Ø ÒÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× β = 1º
ÄÄ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒÖÖÐÐ Ò B
ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÝÝÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ
F cos(nω 0 t/p) ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÓÒÒÒÒØ Ø
∂ t R = μR − R
3
− αR cos(2θ) ,
∂ t θ = ν + α sin(2θ) .
´´º¿¿µ
ÆÓÙ× ÐÐÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ R = 0
´´´Ö¸ Ò× ×¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ××ØØ××××ØØ ÕÙÙÐÐÐ
ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÔÔÔ×× µº ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ÙØÖÖ ÔÓÓÒØ Üܸ ÒÓØØ θ 0 ¸ ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
sin(2θ 0 ) = −ν/αº ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÔÓÙÖ |ν/α| < 1º ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÔÔÙÚÒØ ×³³³ÖÖÖÖ ÓÑÑÑ
2θ 0 = − arcsin
ν
α
, 2θ 0 = π + arcsin
ν
α
.
´´º¿¿µ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÙÙÒÒ ÙÐØØ
´Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒ ÓÒØØØÒØ ÔÔ× Rµ¸ Ø ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÖÖÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×Ø ×ØØØÐк
ÄÄ Ø ÕÙÙ β ×ÓÓØ ÖÖÖÐ Ò³³×Ø ÔÔ× ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÖÖи ÑÑÑ× ØØØ ÓÒØÖÖÖÒØØ ÓÔØØØ
ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØغ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ º¿¾¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÓÖÖÖÖÖ ×Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ Ð ×ÙÙØ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖÖ Ò sin Ù ÐÐÐÙ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖÖ Ò cos¸ Ø Ò××
ÔÔ×××Ö ³ÙÒ × Ð³³ÙØÖÖº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐÙÐ ÓÔØØØ× ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÝÔÔ
I 0 = B(T )e
ipωet/n
+ c.c.
´´º¿¿µ
ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ t → t+2π/ω e
ÑÔÓ×× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ B ÓÓØ ØÖÖ Ò¹
ÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ B → Be
ipωet/n
+ c.c. ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ×ÙÙÚÒØ× dB/dT, B, |B|
2 B ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÒØ ØÓÙ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÑÑÒÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ (dB/dT, B, |B|
2 B) → (dB/dT, B, |B|
2 B)e
2ipπ/n
º ij³ÒÚÚÖÖ¹
ÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙØÓÖÖ×× × ØØÖÑÑ× ÐÐ ÓÖÑÑ B
∗n−1
º º Ò Ò Ø ¸
гÓÔÔÖÖØØÓÒ B → Be
ipωet/n
+ c.c. ÒØÖÖÖÒÒ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ B
∗n−1
Ò B
∗n−1 e
2ipπ e
2ipπ/n
= B
∗n−1 e
2ipπ/n
¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐÐ × ØØÖÑÑ×
(dB/dT, B, |B|
2 B)º Ò×׸ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÓÓØ ÚÚÖÖÖÖÖ B
×Ø ÐÐ ×ÙÙÚÒØØ
dB
dT
= (μ + iν)B − β|B|
2 B − αB
∗n−1 ,
´´º¿¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× β > 0 ´´ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓе
Ø ÖÖÖÐ º α¸ ÖÖÐÐÐ Ù ÓÖÖÖÖÖ¸ ×Ø ÖÖÖÐ ÄÄ × ÙÖÖ ××ÙØØ
Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ n = 1º
ÄÄ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ÑÑ×ÙÖÖ ÐÐ ÙØÓÙÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
´´Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙÙ ω 1 Ò× ÐÐ × n = 1µº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØØÖ Ù ×
n = 2 ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ Ø ÒÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× β = 1º
ÄÄ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒÖÖÐÐ Ò B
ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÝÝÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ
F cos(nω 0 t/p) ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÓÒÒÒÒØ Ø
∂ t R = μR − R
3
− αR cos(2θ) ,
∂ t θ = ν + α sin(2θ) .
´´º¿¿µ
ÆÓÙ× ÐÐÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ R = 0
´´´Ö¸ Ò× ×¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ××ØØ××××ØØ ÕÙÙÐÐÐ
ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÔÔÔ×× µº ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ÙØÖÖ ÔÓÓÒØ Üܸ ÒÓØØ θ 0 ¸ ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
sin(2θ 0 ) = −ν/αº ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÔÓÙÖ |ν/α| < 1º ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÔÔÙÚÒØ ×³³³ÖÖÖÖ ÓÑÑÑ
2θ 0 = − arcsin
ν
α
, 2θ 0 = π + arcsin
ν
α
.
´´º¿¿µ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÙÙÒÒ ÙÐØØ
´Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒ ÓÒØØØÒØ ÔÔ× Rµ¸ Ø ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÖÖÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×Ø ×ØØØÐк
ÄÄ Ø ÕÙÙ β ×ÓÓØ ÖÖÖÐ Ò³³×Ø ÔÔ× ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÖÖи ÑÑÑ× ØØØ ÓÒØÖÖÖÒØØ ÓÔØØØ
ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØغ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ º¿¾¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÓÖÖÖÖÖ ×Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ Ð ×ÙÙØ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖÖ Ò sin Ù ÐÐÐÙ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖÖ Ò cos¸ Ø Ò××
ÔÔ×××Ö ³ÙÒ × Ð³³ÙØÖÖº