º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½½
г³³ÙÖÖ ÒÒÒÕÙÙÙ ×ÙÖ × ÓÖÐÓÓÓ׺ ÅÅÅ׸ Ò ÐÐ× ÙÜ ÓÖÐÓÓÓ×
´ÔÐÙ× ÙÜ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ×µ¸ ÑÑÑÑ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ³³³¹
ÖÓÓ ÔÔÙØ ×× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ×ÝÒÒÒÖÓÒÒ××ØØÓÒ ´´ººº ÐÐ× ÙÜ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× Ó×××ÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÖÖÕÙÙÒÒÒµº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐÙ×ØÖÖÖ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
×ÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´´´´ÖÖÚÒØ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×××ÔÔØØØ ×ÓÙÑÑ×
ÙÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ ÓÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒ ØØÒ××ÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ÔÙÐ××ØØÓÒ
ω e º Ò× ÐÐ ÖÖÚÒØ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½
Ù µ¸ ÒÓÙ× ØÙÙÙÙ ÙÒ ÖÖÙÙØ RLC ÓØØ ³ÙÒÒ ØÙÒÒÒк
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ I Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓРгÓÖ¹
ÖÖ ¿ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ø ÓÑÔÐÐØØØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÖÑÑ ÓÖÖÖÖÖ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ
¨
I − (2μμ − I
2
) ˙
I + ω
2
0 I = F cos(ω e t) ,
´´º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ´´´´Ð Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒÒØØØÐи ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÔÖ 2μμº ØØØ
ÖÖÒÒÒ ÒÓØØØØÓÒ ×Ø ÓÔØØØ Ò× ÐÐ ÙØ ³³³³³Ö ÐÐ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ ÒØÖÖ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ø Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ 0¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÐÐÒØØ ´´ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ
Ù ¾µ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ
ØÝÔÔ e
t
¸ Ñ ÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ´´ººº Ò sin(t)µº ÆÓÙ×
×ØØÒÒÙÙÖÓÒ× ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T = ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ t¸ Ø ÒÓÙ× ×ÙÙÚÓÒ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÑÑÖÖ ÓÔØØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ò×
ÔÔØÖÖ Ò ³³ÜØÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº ÆÓÙ× ÔÓ××ÖÓÒ× Ò×ÙÙØØ I =
I 0 + I 1 + ...º
ººº½ ÓÖÖÖÖÖ ÒÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒØ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ × ÒÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒظ Ø ÒÒÓÖÖ ÐÐ × ××Ò× ÖÓÓ
´ω = ω 0 µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÓÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ººº Ò
0
µ г³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÙÚ
LI 0 ≡ [
∂
∂t 2 + ω
2
0 ]I 0 = F cos(ω e t)
´´º¾¾µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
I 0 = A(T )e
iω0t
+ c.c. +
F
ω 2
0 − ω 2
e
cos(ω e t) .
´´º¾¾µ
ü гÓÖÖÖÖ ÓÒ ÓÓØØØÒØ
LI 1 = (2μ − I
2
0 )
∂I 0
∂t
− 2
∂
2 I 0
∂t∂T
.
´´º¾¾µ
ÆÓØÓÒ× ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ØÖÖÖØØØ Ù ÔÔØÖÖ ¸ ÐÐ Ú
ÑÑÒØ Ø I Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÓÑÑÑÒÒÒ I 0 Ø ÒÓÒ I 1 º ×Ø Ù Ø ÕÙ³³³³¸ Ð ÜÜ×ØØ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÖÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ¸ F cos(ωet)¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö
ÈÓи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× × ×Ø I = 0 Ò ØÖÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØ
×Ø Ò º
½½½
г³³ÙÖÖ ÒÒÒÕÙÙÙ ×ÙÖ × ÓÖÐÓÓÓ׺ ÅÅÅ׸ Ò ÐÐ× ÙÜ ÓÖÐÓÓÓ×
´ÔÐÙ× ÙÜ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ×µ¸ ÑÑÑÑ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ³³³¹
ÖÓÓ ÔÔÙØ ×× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ×ÝÒÒÒÖÓÒÒ××ØØÓÒ ´´ººº ÐÐ× ÙÜ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× Ó×××ÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÖÖÕÙÙÒÒÒµº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐÙ×ØÖÖÖ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
×ÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´´´´ÖÖÚÒØ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×××ÔÔØØØ ×ÓÙÑÑ×
ÙÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ ÓÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒ ØØÒ××ÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ÔÙÐ××ØØÓÒ
ω e º Ò× ÐÐ ÖÖÚÒØ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½
Ù µ¸ ÒÓÙ× ØÙÙÙÙ ÙÒ ÖÖÙÙØ RLC ÓØØ ³ÙÒÒ ØÙÒÒÒк
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ I Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓРгÓÖ¹
ÖÖ ¿ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ø ÓÑÔÐÐØØØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÖÑÑ ÓÖÖÖÖÖ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ
¨
I − (2μμ − I
2
) ˙
I + ω
2
0 I = F cos(ω e t) ,
´´º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ´´´´Ð Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒÒØØØÐи ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÔÖ 2μμº ØØØ
ÖÖÒÒÒ ÒÓØØØØÓÒ ×Ø ÓÔØØØ Ò× ÐÐ ÙØ ³³³³³Ö ÐÐ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ ÒØÖÖ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ø Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ 0¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÐÐÒØØ ´´ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ
Ù ¾µ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ
ØÝÔÔ e
t
¸ Ñ ÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ´´ººº Ò sin(t)µº ÆÓÙ×
×ØØÒÒÙÙÖÓÒ× ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T = ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ t¸ Ø ÒÓÙ× ×ÙÙÚÓÒ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÑÑÖÖ ÓÔØØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ò×
ÔÔØÖÖ Ò ³³ÜØÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº ÆÓÙ× ÔÓ××ÖÓÒ× Ò×ÙÙØØ I =
I 0 + I 1 + ...º
ººº½ ÓÖÖÖÖÖ ÒÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒØ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ × ÒÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒظ Ø ÒÒÓÖÖ ÐÐ × ××Ò× ÖÓÓ
´ω = ω 0 µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÓÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ººº Ò
0
µ г³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÙÚ
LI 0 ≡ [
∂
∂t 2 + ω
2
0 ]I 0 = F cos(ω e t)
´´º¾¾µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
I 0 = A(T )e
iω0t
+ c.c. +
F
ω 2
0 − ω 2
e
cos(ω e t) .
´´º¾¾µ
ü гÓÖÖÖÖ ÓÒ ÓÓØØØÒØ
LI 1 = (2μ − I
2
0 )
∂I 0
∂t
− 2
∂
2 I 0
∂t∂T
.
´´º¾¾µ
ÆÓØÓÒ× ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ØÖÖÖØØØ Ù ÔÔØÖÖ ¸ ÐÐ Ú
ÑÑÒØ Ø I Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÓÑÑÑÒÒÒ I 0 Ø ÒÓÒ I 1 º ×Ø Ù Ø ÕÙ³³³³¸ Ð ÜÜ×ØØ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÖÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ¸ F cos(ωet)¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö
ÈÓи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× × ×Ø I = 0 Ò ØÖÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØ
×Ø Ò º