½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÙÙÚÚÒØ ω e = 2ω 0 − 4ω 0 Δ + O(
2
)¸ Ø ÐÐ× ØØÖ¹
ÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ× Ò e
iω0t
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ
гÓÖÖÖÖ ½ Ò ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ù ÔÔØÖÖ Ð³³ÑÔÓÖ¹
ØØÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ× Ò× ÐÐ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØغ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ Lθ 1 = 0 ÔÓÙÖ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ e
iω0t
º ÄÄ ÔÖÖ××ÒÒÒ
ØØÖÑÑ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ´´ÔÔÔÐÐ Ù×××
ØØÖÑÑ ×××ÙÐÐÐÖÖ ÓÙ ÖÖ×ÓÒÒÒص ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØØ ´ÚÓÓÖ
ÔÓÙÖ ÔÐÙ× ØØØÐ×µº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÒ×××ØØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÐÐÑÑÒÒÖ Ù ×××ÓÒÒ
ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ù ØØÖÑÑ e
iω0t
º
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A(T )
∂A
∂T
= −ΛA −
iω 0
4
|A|
2 A +
iω 0 H
4
A
∗ e
−4iω0ΔT .
´´º½½µ
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ Ù Ò Ú ÖÖÖÖÐÐ B ÔÔÖ A = Be
−2iω0ΔT
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ B ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ÙØÓÒÓÑÑ ´´ººº ÓÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ
Ù ØØÑÔ×µ ×ÙÙÚÒØØ
∂B
∂T
= (−Λ + iν)B + iβ|B|
2 B + iμB
∗ ,
´´º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× ν = 2ω 0 Δ¸ μ = ω 0 H/4 Ø β = −ω 0 /4º
ººº½ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ÔÔÖØØÖ × ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÙÖÖÖØ ÔÙ ØÖÖ ÒÓÒÒÒÒ Ò ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ Ò ¹
ظ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ ×Ø ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
t → t+2π/ω e º Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ θ 0 ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ
гÓÖÖÖÖ ¼ Ò ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÚÚÚÒØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ
ØÙÙÖ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ θ 0 ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ B ´ÒÓÙ× ÖÖÔ¹
ÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ A = Be
−2iω0ΔT
µ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ B → −Bº ØØØ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ B → −B¸ ×Ø ÐÐ ××ÙÐÐ ÓÒØÖÖÖÒØØ ³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖ ÁР׳³Ò×ÙÙظ ÕÙ³³Ò ÔÐÙ× × ØØÖÑÑ×
Ù×ÙÙÐ× ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ× B¸ × ØØÖÑÑ× ÓÒÒÙÙÙÙ× Ù ØÝÔÔ B
∗
×ÓÒØ
ÙØÓÖÖ××׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÓÙ ÀÓÔÔ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÚØ ØÖÖ
ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → Ae
iθ
¸ Ó θ ×Ø ÙÒÒ ÔÔÔ×× ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ÓÒ×ØØÒØغ
ØØØ Ò³³ÙØÓÖÖ×××Ø ÔÔ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ A
∗
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÐк
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÑÑØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ B = 0º ËÓÒ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò
ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÐÐÐÓÒ× Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ωe/2¸ ¸
ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ θ 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÙÒÒ
ÔÙÐ××ØØÓÒ ÐÐ ω 0 º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÙÙÚÚÒØ ω e = 2ω 0 − 4ω 0 Δ + O(
2
)¸ Ø ÐÐ× ØØÖ¹
ÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ× Ò e
iω0t
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ
гÓÖÖÖÖ ½ Ò ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ù ÔÔØÖÖ Ð³³ÑÔÓÖ¹
ØØÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ× Ò× ÐÐ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØغ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ Lθ 1 = 0 ÔÓÙÖ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ e
iω0t
º ÄÄ ÔÖÖ××ÒÒÒ
ØØÖÑÑ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ´´ÔÔÔÐÐ Ù×××
ØØÖÑÑ ×××ÙÐÐÐÖÖ ÓÙ ÖÖ×ÓÒÒÒص ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØØ ´ÚÓÓÖ
ÔÓÙÖ ÔÐÙ× ØØØÐ×µº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÒ×××ØØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÐÐÑÑÒÒÖ Ù ×××ÓÒÒ
ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ù ØØÖÑÑ e
iω0t
º
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A(T )
∂A
∂T
= −ΛA −
iω 0
4
|A|
2 A +
iω 0 H
4
A
∗ e
−4iω0ΔT .
´´º½½µ
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ Ù Ò Ú ÖÖÖÖÐÐ B ÔÔÖ A = Be
−2iω0ΔT
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ B ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ÙØÓÒÓÑÑ ´´ººº ÓÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ
Ù ØØÑÔ×µ ×ÙÙÚÒØØ
∂B
∂T
= (−Λ + iν)B + iβ|B|
2 B + iμB
∗ ,
´´º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× ν = 2ω 0 Δ¸ μ = ω 0 H/4 Ø β = −ω 0 /4º
ººº½ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ÔÔÖØØÖ × ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÙÖÖÖØ ÔÙ ØÖÖ ÒÓÒÒÒÒ Ò ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ Ò ¹
ظ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ ×Ø ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
t → t+2π/ω e º Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ θ 0 ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ
гÓÖÖÖÖ ¼ Ò ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÚÚÚÒØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ
ØÙÙÖ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ θ 0 ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ B ´ÒÓÙ× ÖÖÔ¹
ÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ A = Be
−2iω0ΔT
µ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ B → −Bº ØØØ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ B → −B¸ ×Ø ÐÐ ××ÙÐÐ ÓÒØÖÖÖÒØØ ³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖ ÁР׳³Ò×ÙÙظ ÕÙ³³Ò ÔÐÙ× × ØØÖÑÑ×
Ù×ÙÙÐ× ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ× B¸ × ØØÖÑÑ× ÓÒÒÙÙÙÙ× Ù ØÝÔÔ B
∗
×ÓÒØ
ÙØÓÖÖ××׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÓÙ ÀÓÔÔ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÚØ ØÖÖ
ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → Ae
iθ
¸ Ó θ ×Ø ÙÒÒ ÔÔÔ×× ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ÓÒ×ØØÒØغ
ØØØ Ò³³ÙØÓÖÖ×××Ø ÔÔ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ A
∗
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÐк
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÑÑØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ B = 0º ËÓÒ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò
ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÐÐÐÓÒ× Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ωe/2¸ ¸
ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ θ 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÙÒÒ
ÔÙÐ××ØØÓÒ ÐÐ ω 0 º