º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½½
ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒظ h г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÓÖÖÖÖÖ Ø δ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØغ ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÒØØÖÖ×××× ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÓÖ×ÕÙÙ × ØÖÓÓ× ¹
Ø× ×××ÒØ × Ñ ÙÐØØÒÒÑÑÒظ ÒÓÙ× ³³ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ´´ººº λµ Ø Ù ÓÖÖÖÖÖ ´´ººº hµ ×ÓÒØ
гÓÖÖÖÖ ¸ ÕÙÙ ÑÑÒÒ ÔÓ××Ö λ = Λ Ø h = H¸ ÓÓ Λ Ø H ×ÓÒØ
³ÓÖÖÖÖ ÙÒÒØغ Ò×ÙÙØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ θ ÐÐ ÓÖÑÑ ¿
θ(t) =
√
[θ 0 (t, T ) + θ 1 (t, T ) + ....]
´´º½½µ
ÓÓ T ×Ø ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØغ ØØØ Ò ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ Ø
ÖÖÔÔÔÔ ×Ø ××Ù٠г³ÒÒÐÝ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ò Ø¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× λ
Ø h ×Ø Ò ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÒÓØØ ω¸ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ ÐÐ ×Ø ÐÐÑÑÒØ Ø Ò Ø¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÚÓÐÙÙ
×ÙÖ ÙÒÒ ØØÑÔ× Ð³ÓÖÖÖÖ
−1
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÙÒÒ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T ØØÐÐÐ ÕÙÙ T = tº ü ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ¸ ÕÙÙÒØ
ÐÐи ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒÒ ´´´× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µº ³³×Ø
ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÓÖ¸ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ ÐÐÒØØ T Ø ÙÒÒ ÐÐÐ
ÖÖÔÔÔÔ tº º Ò × Ù Ú ÒØ ÐÐ ÑÑØØÓÓÓ ÔÖÖ××ÒØØØ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÔÔØÖÖ
µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ
d
dt
→
∂
∂t
+
∂
∂T
.
´´º½¾µ
ÄÄ ×ÙÙØØ ÓÒ×××ØØ ÖÖÔÓÖØØÖ ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ¸ Ò Ý
ÔÐÙ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
θ ÖÖÖÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ Ò ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ º ü гÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ººº Ò
0
µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
Lθ 0 ≡
∂
2
∂t 2 + ω
2
0
θ 0 = 0 ,
´´º½¿µ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
θ 0 = A(T )e
iω0t
+ A
∗
(T )e
−iω0t ,
´´º½½µ
ÓÓ A(T ) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø A
∗
×ÓÒ ÓÒÒÙÙÙÙº ü гÓÖÖÖÖ ½ Ò ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
г³ÕÙÙØØÓÒ
Lθ 1 = −2
∂
2 θ 0
∂t∂T
− 2Λ
∂θ 0
∂t
− ω
2
0 Hθ 0 cos(ω e t) +
ω
2
0
6
θ
3
0 .
´´º½½µ
¿ ØØØ ÓÖÑÑ ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³ÙÒÒ ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ò ××ÙÙ × ØØÖÑÑ×
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò θµ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò θ 3 µ ××Ù× Ù ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ sin(θ) ÐÐ ÓÒ¹
ØÖÖÖÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÔÖÖÖÖÖÖÖ ¸ Ö ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ò º Ä ³ Ò ¹
×ØØØØÐÐØØ ω = 0 Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ×Ø ÔÔØØØ Ø ÓÒ ÔÔÙØ ÒÒÒÐÐÐÐÖ
ω 4 ÚÒØ ω 2 Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò ÓÑÔÔÖÖÒØ ÐÐ ØØÖÑÑ ω 2 Ù
ØØÖÑÑ (ω 2
0 − ω 2
e /4) 2 ∼ 2 ¸ ÒÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÕÙÙ ω ∼ º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø Ò×
ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ˙
θ = ωθ ∼ θº º Ò Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Ø ØØÖÑÑ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ θ 3 ¸
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø θ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÆÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ Ô Ó×ØØÖÖÓÖÖ ÕÙÙ ÓÓÜ ×Ø Ò ÔÔÖÓÔÖÖÖº
½½½
ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒظ h г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÓÖÖÖÖÖ Ø δ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØغ ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÒØØÖÖ×××× ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÓÖ×ÕÙÙ × ØÖÓÓ× ¹
Ø× ×××ÒØ × Ñ ÙÐØØÒÒÑÑÒظ ÒÓÙ× ³³ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ´´ººº λµ Ø Ù ÓÖÖÖÖÖ ´´ººº hµ ×ÓÒØ
гÓÖÖÖÖ ¸ ÕÙÙ ÑÑÒÒ ÔÓ××Ö λ = Λ Ø h = H¸ ÓÓ Λ Ø H ×ÓÒØ
³ÓÖÖÖÖ ÙÒÒØغ Ò×ÙÙØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ θ ÐÐ ÓÖÑÑ ¿
θ(t) =
√
[θ 0 (t, T ) + θ 1 (t, T ) + ....]
´´º½½µ
ÓÓ T ×Ø ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØغ ØØØ Ò ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ Ø
ÖÖÔÔÔÔ ×Ø ××Ù٠г³ÒÒÐÝ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ò Ø¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× λ
Ø h ×Ø Ò ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÒÓØØ ω¸ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ ÐÐ ×Ø ÐÐÑÑÒØ Ø Ò Ø¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÚÓÐÙÙ
×ÙÖ ÙÒÒ ØØÑÔ× Ð³ÓÖÖÖÖ
−1
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÙÒÒ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T ØØÐÐÐ ÕÙÙ T = tº ü ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ¸ ÕÙÙÒØ
ÐÐи ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒÒ ´´´× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µº ³³×Ø
ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÓÖ¸ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ ÐÐÒØØ T Ø ÙÒÒ ÐÐÐ
ÖÖÔÔÔÔ tº º Ò × Ù Ú ÒØ ÐÐ ÑÑØØÓÓÓ ÔÖÖ××ÒØØØ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÔÔØÖÖ
µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ
d
dt
→
∂
∂t
+
∂
∂T
.
´´º½¾µ
ÄÄ ×ÙÙØØ ÓÒ×××ØØ ÖÖÔÓÖØØÖ ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ¸ Ò Ý
ÔÐÙ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
θ ÖÖÖÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ Ò ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ º ü гÓÖÖÖÖ ÞÞÖÓ ´´ººº Ò
0
µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
Lθ 0 ≡
∂
2
∂t 2 + ω
2
0
θ 0 = 0 ,
´´º½¿µ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
θ 0 = A(T )e
iω0t
+ A
∗
(T )e
−iω0t ,
´´º½½µ
ÓÓ A(T ) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø A
∗
×ÓÒ ÓÒÒÙÙÙÙº ü гÓÖÖÖÖ ½ Ò ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
г³ÕÙÙØØÓÒ
Lθ 1 = −2
∂
2 θ 0
∂t∂T
− 2Λ
∂θ 0
∂t
− ω
2
0 Hθ 0 cos(ω e t) +
ω
2
0
6
θ
3
0 .
´´º½½µ
¿ ØØØ ÓÖÑÑ ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³ÙÒÒ ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ò ××ÙÙ × ØØÖÑÑ×
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò θµ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´Ò θ 3 µ ××Ù× Ù ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ sin(θ) ÐÐ ÓÒ¹
ØÖÖÖÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÔÖÖÖÖÖÖÖ ¸ Ö ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ò º Ä ³ Ò ¹
×ØØØØÐÐØØ ω = 0 Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ×Ø ÔÔØØØ Ø ÓÒ ÔÔÙØ ÒÒÒÐÐÐÐÖ
ω 4 ÚÒØ ω 2 Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò ÓÑÔÔÖÖÒØ ÐÐ ØØÖÑÑ ω 2 Ù
ØØÖÑÑ (ω 2
0 − ω 2
e /4) 2 ∼ 2 ¸ ÒÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÕÙÙ ω ∼ º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø Ò×
ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ˙
θ = ωθ ∼ θº º Ò Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Ø ØØÖÑÑ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ θ 3 ¸
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø θ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÆÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ Ô Ó×ØØÖÖÓÖÖ ÕÙÙ ÓÓÜ ×Ø Ò ÔÔÖÓÔÖÖÖº