º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½¿
ÙÖÖ º½ ÄÄ ×××ØØÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº
ÇÒ ÑÓÒØÖÖ ×ÙÖ ØØØ ÙÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÙ×¹
ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ¸Ø ÙÜ ÙÜ ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ω0 = ωe Ø ω0 = 2ωeº
³³×Ø Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÐÐÒÒÓÓÖÖ ×× ÓÒ ÔÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ò
ÖÖÒÒÖÖ ÓÔØØÑÑÐ ÐÐ ÑÓÙÚÚÑÑÒظ Ð ÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÔÔÐÐÕÙÙÙ ×××ÒÒ Ù
ÑÓÑÑÒØ ÓÓ Ð³³ÒÒÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐк ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ð ÙØ ÕÙÙ
ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖº
ÄÄ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø Ò ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº Ò× ÐÐ
× ÚÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ù ÔÔÒÒÙÐи г³ÜÜÜØØØØÓÒ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÚÚØغ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÑÑ××× ×ÓÓØ ÐÐÐÐÐÐ ÔÙÙ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐÐ
θ = θ max ÚÚØØ××× ÒÙÐÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µ ÐÐ ÑÑ××× ×× ÖÖÖÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
θ = 0 ×ÓÙ× Ð³³³³Ø ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÐÐ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× ÐÐ ÐÓÒÒ
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖº ÒØÖÖ θ = θ max Ø θ = 0¸ ØØØ ÓÖÖÖ ×Ø ÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ××Ò× Ù
ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ÐÐÖÖÖº Ò× ØØØ ÔÔÔ×׸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÕÙÙÖØ
ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ¸ г³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ××Ò× ÕÙÙ ÐÐ
ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××× ÐÐ ÙÜÜÜÑÑ ÕÙÙÖØ ×× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ¸
ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ θ = 0 Ø θ = −θ max ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÙÙ Ù ÔÓÓÓ×
×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÖÖÖÖÖ Ò ××Ò× Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ º¾µ¸ Ù××ÒØ
Ò×× ÙÒÒ ÐÐÖÖØØÓÒ ÐÐ ÑÑ××׺ ij³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ú ÚÓÓÖ ØØÒÒÒÒÒÒ
ÑÓÓÒÒÖÖÖ ØØØ ÐÐÖÖØØÓÒº Ò Ø¸ г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ
ÒØØÖÚÚÒÒÒØ Ò× ÐÐ ÒÒÒ ×××ÒÒ Ù ÑÓÑÑÒØ ÓÓ ÐÐ ÑÑ×××
ÒØØÑÑ ØØØ ÙÜÜÜÑÑ ÔÔÔ×׺ ÉÙÙÒÒ ÐÐ ÑÑ××× ØØØØÒØ θ = −θ max Ø ÐÐ
¿
e
ÔÔÔ×× ´´ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ θ = −θ max Ø θ = 0µ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÓÒØÖÖÖÙÙ
ÒÓÙÚÚÚÙ Ð ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ´´´ ÕÙÙ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ×××ÒÒ
г³ÜÜÜØØØØÓÒµº Ò×׸ ×ÙÖ ÙÒÒ θ max −θ max ¸ г³ÜÜÜØØØØÓÒ
ÙÜ ÓÓ× ×××ÒÒº ÐÐÐ Ò×× ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ¸ ÓÙ ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ
ω e = 2ω 0 ³³×Ø ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº
½½¿
ÙÖÖ º½ ÄÄ ×××ØØÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº
ÇÒ ÑÓÒØÖÖ ×ÙÖ ØØØ ÙÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÙ×¹
ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ¸Ø ÙÜ ÙÜ ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ω0 = ωe Ø ω0 = 2ωeº
³³×Ø Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÐÐÒÒÓÓÖÖ ×× ÓÒ ÔÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ Ò
ÖÖÒÒÖÖ ÓÔØØÑÑÐ ÐÐ ÑÓÙÚÚÑÑÒظ Ð ÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÔÔÐÐÕÙÙÙ ×××ÒÒ Ù
ÑÓÑÑÒØ ÓÓ Ð³³ÒÒÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐк ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ð ÙØ ÕÙÙ
ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖº
ÄÄ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø Ò ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙº Ò× ÐÐ
× ÚÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ù ÔÔÒÒÙÐи г³ÜÜÜØØØØÓÒ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÚÚØغ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÑÑ××× ×ÓÓØ ÐÐÐÐÐÐ ÔÙÙ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐÐ
θ = θ max ÚÚØØ××× ÒÙÐÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µ ÐÐ ÑÑ××× ×× ÖÖÖÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
θ = 0 ×ÓÙ× Ð³³³³Ø ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÐÐ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× ÐÐ ÐÓÒÒ
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖº ÒØÖÖ θ = θ max Ø θ = 0¸ ØØØ ÓÖÖÖ ×Ø ÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ××Ò× Ù
ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ÐÐÖÖÖº Ò× ØØØ ÔÔÔ×׸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÕÙÙÖØ
ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ¸ г³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ××Ò× ÕÙÙ ÐÐ
ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××× ÐÐ ÙÜÜÜÑÑ ÕÙÙÖØ ×× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ¸
ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ θ = 0 Ø θ = −θ max ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÙÙ Ù ÔÓÓÓ×
×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÖÖÖÖÖ Ò ××Ò× Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ º¾µ¸ Ù××ÒØ
Ò×× ÙÒÒ ÐÐÖÖØØÓÒ ÐÐ ÑÑ××׺ ij³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ú ÚÓÓÖ ØØÒÒÒÒÒÒ
ÑÓÓÒÒÖÖÖ ØØØ ÐÐÖÖØØÓÒº Ò Ø¸ г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ
ÒØØÖÚÚÒÒÒØ Ò× ÐÐ ÒÒÒ ×××ÒÒ Ù ÑÓÑÑÒØ ÓÓ ÐÐ ÑÑ×××
ÒØØÑÑ ØØØ ÙÜÜÜÑÑ ÔÔÔ×׺ ÉÙÙÒÒ ÐÐ ÑÑ××× ØØØØÒØ θ = −θ max Ø ÐÐ
¿
e
ÔÔÔ×× ´´ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ θ = −θ max Ø θ = 0µ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÓÒØÖÖÖÙÙ
ÒÓÙÚÚÚÙ Ð ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ´´´ ÕÙÙ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ×××ÒÒ
г³ÜÜÜØØØØÓÒµº Ò×׸ ×ÙÖ ÙÒÒ θ max −θ max ¸ г³ÜÜÜØØØØÓÒ
ÙÜ ÓÓ× ×××ÒÒº ÐÐÐ Ò×× ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ¸ ÓÙ ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ
ω e = 2ω 0 ³³×Ø ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº