½½¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù
×××ÓÒÒ ÖÖ Ò x ≡ ω
2
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÖÖÖÖÒÒ× ´´´´ÐÐ −2(ω
2
0 + ω
2
e /4)µ
×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚº ºÒ ÓÙØÖÖ ÐÐ ××ÖÖÑÑÒÒÒØ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÔÓ××ØØغ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ÓÒÒ ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ÖÖÖÐÐÐ׸ гÙÒÒ Ù ÑÓÓÒ× ×Ø
ÒÒÒÒØØÚº ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ω
2
ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ
´´ÓÒÒ ÐÐ ØØÙÖ e
ωt
ÒÒ ÖÓÓØ ÔÔ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ×ØØØÐеº ÈÖ ÓÒ¹
××ÕÙÙÒظ г³ÔÔÔÖÖØØÓÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÓÓØ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚÚ
ω
2
º ºØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ
³ÙÒÒ ÖÖÖÖÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ Ò³³×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ׸ ÓÒÒÒ
ÔÔÖ (ω
2
0 −
ω
2
e
4 )
2
−
h
2
4 ω
4
0 ¸ ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×³³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
h > 2|1 − (
ω e
2ω 0
)
2
| .
´´ººµ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ω
2 > 0µ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ×××ØØÙÖ ÔÔÖØØÖ
ÐÐ ÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ º½º ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ h ØÖÖ× ÐÐ ´ÚÓÓÖÖ
ÒÙÐÐе¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ×× ω 0 /ω e 1/2¸ ³³×Ø Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ¸
ÓÙ ÒÒÓÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ÍÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÓÒØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ××
××ØÙ٠г³ÜØØÖÖÖÙÖ Ù ÓÑÑÑÒÒ ×³³ÑÓÖØØØ ÐÐ ØØÑÔ׺
Ò Ø¸ Ò ×Ù× ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÓÑÑÑÒÒ×
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÐÐ ÙÖÖ º½ ÓÓ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ω
2 > 0 ×Ø ÚÖÖÖÖÖº ºº× ÓÑÑÑÒÒ×
×ÓÒØ ÒØÖÖ× ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÖÖÔÔÓÖØ × ÖÖÕÙÙÒÒÒ×
ÔÖÓÔÖÖ× Ø ÐÐРг³ÜÜÜØØØØÓÒ ´´ººº ω 0 /ω e = n¸ ÚÚÚ n ÒØØØÖ ÔÓ××ØØظ
ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ººµº ÈÖ ÜÜÑÔÐи n = 1 ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÝÒØ ÙÒÒ
ÔÙÐ××ØØÓÒ ÐÐ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖº ºººº ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ØÙÙÐÐÐ ³ÙÒ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÓÖÖÖº
ÈÓÙÖÕÙÓÓ ¹Ø¹ÓÒ ÓÒÒ ÓÖÖÖ ÙÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÐÐ ÐÐ ÑÓÓØØØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ´ω 0 /ω e =
1/2µ µ Ò ××Ö¸ ÐÐ × ÙÖÖ ×Ø ÒØØÖÖ×××ÒØ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×× ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ
××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ×××ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ × Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ÓÖÖÖ׸ ÑÑÑ× ×ÙÖØÓÙظ Р׳³³³Ø
ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÕÙÙ ÒÒÒÒ×××ØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÖÖÖÐÐ×Øظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ×× ÐÐ× ÖÓØØØÑÑÒØ× ×ÓÒØ ÔÖÖ× Ò
ÓÑÔØظ ´ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ººµº ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ
ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ÐÐÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐÐ× ÙÜ
ÙØÖÖ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº
º¿ ÁÑÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ
ÈÓÙÖ ÖÖÒÒÒÒÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ¸ ÖÖÔÖÖÒÓÒ×
ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÓÙ×¹ØØÒÒÒÒØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙº
ÓÒ ÐÐ× Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ×ÓÒØ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ´×ÙÔÔÓ××× ÖÑÓÒÒÕÙÙ ººº ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐе
×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ´´ÓÖÖÖÖÖ Ò sin(ω 0 t)¸
ÕÙÙ ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÖÖÔÓÒ×× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ Ò sin(ω 0 t)µ µ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ
ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÓÓØ ØÖÖ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù
×××ÓÒÒ ÖÖ Ò x ≡ ω
2
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÖÖÖÖÒÒ× ´´´´ÐÐ −2(ω
2
0 + ω
2
e /4)µ
×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚº ºÒ ÓÙØÖÖ ÐÐ ××ÖÖÑÑÒÒÒØ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÔÓ××ØØغ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ÓÒÒ ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ÖÖÖÐÐÐ׸ гÙÒÒ Ù ÑÓÓÒ× ×Ø
ÒÒÒÒØØÚº ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ω
2
ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ
´´ÓÒÒ ÐÐ ØØÙÖ e
ωt
ÒÒ ÖÓÓØ ÔÔ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ×ØØØÐеº ÈÖ ÓÒ¹
××ÕÙÙÒظ г³ÔÔÔÖÖØØÓÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÓÓØ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚÚ
ω
2
º ºØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ
³ÙÒÒ ÖÖÖÖÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ Ò³³×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ׸ ÓÒÒÒ
ÔÔÖ (ω
2
0 −
ω
2
e
4 )
2
−
h
2
4 ω
4
0 ¸ ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×³³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
h > 2|1 − (
ω e
2ω 0
)
2
| .
´´ººµ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ω
2 > 0µ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ×××ØØÙÖ ÔÔÖØØÖ
ÐÐ ÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ º½º ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ h ØÖÖ× ÐÐ ´ÚÓÓÖÖ
ÒÙÐÐе¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ×× ω 0 /ω e 1/2¸ ³³×Ø Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ¸
ÓÙ ÒÒÓÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ÍÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÓÒØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ××
××ØÙ٠г³ÜØØÖÖÖÙÖ Ù ÓÑÑÑÒÒ ×³³ÑÓÖØØØ ÐÐ ØØÑÔ׺
Ò Ø¸ Ò ×Ù× ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÓÑÑÑÒÒ×
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÐÐ ÙÖÖ º½ ÓÓ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ω
2 > 0 ×Ø ÚÖÖÖÖÖº ºº× ÓÑÑÑÒÒ×
×ÓÒØ ÒØÖÖ× ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÖÖÔÔÓÖØ × ÖÖÕÙÙÒÒÒ×
ÔÖÓÔÖÖ× Ø ÐÐРг³ÜÜÜØØØØÓÒ ´´ººº ω 0 /ω e = n¸ ÚÚÚ n ÒØØØÖ ÔÓ××ØØظ
ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ººµº ÈÖ ÜÜÑÔÐи n = 1 ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ ÝÒØ ÙÒÒ
ÔÙÐ××ØØÓÒ ÐÐ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖº ºººº ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ØÙÙÐÐÐ ³ÙÒ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÓÖÖÖº
ÈÓÙÖÕÙÓÓ ¹Ø¹ÓÒ ÓÒÒ ÓÖÖÖ ÙÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ
ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÐÐ ÐÐ ÑÓÓØØØ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ´ω 0 /ω e =
1/2µ µ Ò ××Ö¸ ÐÐ × ÙÖÖ ×Ø ÒØØÖÖ×××ÒØ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×× ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ
××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ×××ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ × Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ÓÖÖÖ׸ ÑÑÑ× ×ÙÖØÓÙظ Р׳³³³Ø
ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÕÙÙ ÒÒÒÒ×××ØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ
Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÖÖÖÐÐ×Øظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ×× ÐÐ× ÖÓØØØÑÑÒØ× ×ÓÒØ ÔÖÖ× Ò
ÓÑÔØظ ´ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ººµº ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÞÓÒÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ
ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ÐÐÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐÐ× ÙÜ
ÙØÖÖ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº
º¿ ÁÑÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ
ÈÓÙÖ ÖÖÒÒÒÒÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ¸ ÖÖÔÖÖÒÓÒ×
ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÓÙ×¹ØØÒÒÒÒØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙº
ÓÒ ÐÐ× Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ×ÓÒØ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÐÐ×××ÕÙÙ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ´×ÙÔÔÓ××× ÖÑÓÒÒÕÙÙ ººº ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐе
×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ´´ÓÖÖÖÖÖ Ò sin(ω 0 t)¸
ÕÙÙ ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÖÖÔÓÒ×× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ Ò sin(ω 0 t)µ µ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ
ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÓÓØ ØÖÖ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖº