º ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ Ø ÙØÖÖ× Ò×ØØØØÐÐØØ×
½½½
×ÙÙغ Ò Ø¸ ×× h = 0¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
θ(t) = θ 0 cos(ω 0 t + φ) ,
´´ººµ
ü ÔÔÖØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿µ¸ ÖÖÖÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÔÓÙÖ
h ÔÔØØظ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÝÔÔ
θ(t) = θ 0 cos(
ω e
2
t + φ)e
ωt ,
´´ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒØØØØÔÔ ÕÙÙ¸ Ò× ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ´h ÔÔØØص¸ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÔÖÓÓÓÓ ω 0 ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ω e /2 ω 0 º ظ ÒÓÙ× ×ÙÔ¹
ÔÓ×ÓÒ× ÔÔÖ ÕÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ØØÖÑÑÒÒÖ
Ò×ÙÙØØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÓÙ× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÒÓØÖÖ ÝÔÓØØØ×× ×Ø ÚÚÐÐÐÐ ¾ º ÊÊÔÓÖØÓÒ×
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
∂
2
∂t 2 + ω
2
0 [1 + h cos(ω e t)]
cos(
ω e
2
t + φ)e
ωt
=
(ω
2
0 −
ω
2
e
4
+ ω
2
)×
× cos(
ω e
2
t + φ) − ω e ω sin(
ω e
2
t + φ) +
h
2
ω
2
0 cos(
ω e
2
t − φ)
+
h
2
ω
2
0 cos(
3ω e
2
t + φ)
e
ωt .
´´ººµ
ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙ٠г³ÜÜÜØØØØÓÒ ÒÒÒÒÒÖÖ × Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ´ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ÔÙÐ××ØØÓÒ 3ω e /2µº ÆÓÙ×
ÑÓÒØÖÓÒ× Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ºº ÕÙ٠г³³³Ø ³ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÖÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ
ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ω e /2¸ Ø ÔÔÖ ÒÓÙ× ÐÐ ÒÒÒÐÐÐÐÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ
×ÙÙØغ
Ú ÐÐ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÓÙÖ ÖÖ ÔÔÔ¹
ÖÖÖØÖÖ ××ÔÔÖÖÑÑÒØ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò cos(
ωe
2 t)e
ωt
Ø sin(
ωe
2 t)e
ωt
º ÓÑÑÑ sin(
ωe
2 t) Ø
cos(
ωe
2 t) ×ÓÒØ ÙÜ ÓÒÒØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ
Ò³³×Ø ××ØØ××××ØØ ÕÙÙ ×× ÐÐ× ÙÜ ÑÙÐØØÔÐÐÐÒØ × ÓÒÒØØÓÒ× ×³³ÒÒÙÐÐÒØ
××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒغ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÒÒÙÙØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ
ω
2
0 −
ω
2
e
4
+ ω
2
+
h
2
ω
2
0
cos(φ) − ω e ω sin(φ) = 0 ,
ω e ω cos(φ) +
ω
2
0 −
ω
2
e
4
+ ω
2
−
h
2
ω
2
0
sin(φ) = 0 .
´´ººµ
× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ׸ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò cos(φ) Ø sin(φ)¸ Ò³ÓÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ
ÕÙÙ ×× ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ø × Ø Ò Ùи ×ÓÓØ
ω
4
+ 2(ω
2
0 +
ω
2
e
4
)ω
2
+ (ω
2
0 −
ω
2
e
4
)
2
−
h
2
4
ω
4
0 = 0 .
´´ººµ
¾ ÊÊÊÒ ÒÒ ÒÓÙ× ÓÓÐÐÐÐ ÖÖ Ø Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÖ ÑÑÒÒÒÖÖ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐк
ij³ÒØØØØÔÔØØÓÒ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ××ÑÔÐÐÐÐÖ ÙÒ ÔÔÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒØØØØÓÒº