½½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ ÑÑ××× m ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ×Ø Ò×× ×ÓÙÑÑ×׸ ÓÙØÖÖ ÐÐ ÖÖÚÚØØ Ù×ÙÙÐÐÐ
g 0 ¸ г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ¨
aº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÓÖ× ÒÒÖ ÙÒÒ ØÓØØÐÐ
×ÙÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑ××× ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
g(t) = g 0 + g 1 cos(ω e t) ,
´´º½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÔÓ×× g 1 = a 0 ω
2
e º Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ
Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ω e t)]θ = 0 ,
´´º¾µ
ÓÓ h ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ h = g 1 /g 0 Ø ω 0 =
g 0 // ×Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ
Ù ÔÔÒÒÙÐи Ú ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÔÔÒÒÙÐи ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ
ÐÐ ÒØÖÖ ÑÑ××× Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐк ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÓÖÖÖ ÐÐ×××ÕÙÙ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ¨
θ + ω
2
0 θ =
f e cos(ω e t)¸ ÓÓ f e ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ
ÔÔÔÖÖÖØ Ò×× Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒº ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ØÙÙÙÙ ¸ г³ÒÒÙÙÒÒÒ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÒØØÖÚÚÚÒØ Ò ÔÖÓÓÙÙØ Ú ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ θ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µº ÌÓÙØ ×× ÔÔ××× ÓÑÑÑ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ Ù ØØÑÔ× ³³×Ø ÐÐ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÕÙÙÐÐÐÐÒØ Ð Ø ÝÔÔ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ ØÙÙÙÙÙ º
º¾ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ×Ø ØØ
ÒÓÒ ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ØØÑÔ׸ Ö ÙÒ ××× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÔÔÒÒ Ù
ØØÑÔ׺ ÄÓÖ×ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÙØÓÒÓÑÑ ´´ÓÓÓÓÓÓÒØ×
Ù ØØÑÔ×µ Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ØÝÔÔ e
ωt
º ÄÓÖ×ÕÙ٠гÙÒ
× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
×Ø ØÝÔÔ
θ(t) = f (t)e
ωt ,
´´º¿µ
ÓÓ ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ×× ÙÙØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ø f (t) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׸ ÑÑÑÑ ÔÔÖÖ¹
ÓÓÓ ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ººº f (t + 2π/ω e ) = f (t)µº
ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÙÐÐ Ù ØØØÓÖÖÑÑ ÐÓÕÙÙع¹ÐÓÓÓ ½ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f (t) ÓÓØ ØÖÖ Ò ××ÖÖÖ ÓÙÖÖÖÖ
ÓÒØØÒÒÒØ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ׺ ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ׸ ÙÒ
ÐÐÙÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
½ × ÒÓÑ× Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÖÖÒÒÒÒ× ÐÐÐ ÅÅÖÖÖ ×ØÓÒ ´½½½½¹½½¾¼µ Ø Ù
ÔÔÝ×××××Ò ×ÙÙ××× ÐÐÜ ´½½¼¼¹½½½¿µ¸ ÔÖÖÜ ÆÓÓÓÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ Ò ½½½¾º ÄÄ ØØØÓÖÖÑÑ
ÐÓÓ¸ ÔÔÖÖÓÓ× ÒÓÑÑÑ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ØØ ÒÓÒÒÒ ÔÔÖ º ÐÓÓ Ò
¿ ÑÑÒ××ÓÒ× ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ º ÐÓ¹
ÕÙÙظ ÒÓÒÒÒ¸ Ò ×ÙÙ×ØØÒÒÒ¸ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒÒ× ÚÓÐÙÙÒØ Ò× ÙÒ ÑÑÐÐÐÙ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ¿ ÑÑÒ××ÓÒ×
ÒÒ ×× ÔÔ× Ø ÕÙ³³ÐÐÐ× ×× ÔÖÓÔÔÔÔÒØ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ ÐÐÐ Ù ÑÑÐÐÐÙº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ ÑÑ××× m ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ×Ø Ò×× ×ÓÙÑÑ×׸ ÓÙØÖÖ ÐÐ ÖÖÚÚØØ Ù×ÙÙÐÐÐ
g 0 ¸ г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ¨
aº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÓÖ× ÒÒÖ ÙÒÒ ØÓØØÐÐ
×ÙÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑ××× ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
g(t) = g 0 + g 1 cos(ω e t) ,
´´º½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÔÓ×× g 1 = a 0 ω
2
e º Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ
Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ + ω
2
0 [1 + h cos(ω e t)]θ = 0 ,
´´º¾µ
ÓÓ h ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ h = g 1 /g 0 Ø ω 0 =
g 0 // ×Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ
Ù ÔÔÒÒÙÐи Ú ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÔÔÒÒÙÐи ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ
ÐÐ ÒØÖÖ ÑÑ××× Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐк ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÓÖÖÖ ÐÐ×××ÕÙÙ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ¨
θ + ω
2
0 θ =
f e cos(ω e t)¸ ÓÓ f e ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÖÖ ÜÜÜØØØÖÖÖÖ
ÔÔÔÖÖÖØ Ò×× Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒº ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ØÙÙÙÙ ¸ г³ÒÒÙÙÒÒÒ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÒØØÖÚÚÚÒØ Ò ÔÖÓÓÙÙØ Ú ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ θ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µº ÌÓÙØ ×× ÔÔ××× ÓÑÑÑ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ Ù ØØÑÔ× ³³×Ø ÐÐ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ÕÙÙÐÐÐÐÒØ Ð Ø ÝÔÔ ³³ÜÜÜØØØØÓÒ ØÙÙÙÙÙ º
º¾ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ×Ø ØØ
ÒÓÒ ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ØØÑÔ׸ Ö ÙÒ ××× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÔÔÒÒ Ù
ØØÑÔ׺ ÄÓÖ×ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÙØÓÒÓÑÑ ´´ÓÓÓÓÓÓÒØ×
Ù ØØÑÔ×µ Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ØÝÔÔ e
ωt
º ÄÓÖ×ÕÙ٠гÙÒ
× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
×Ø ØÝÔÔ
θ(t) = f (t)e
ωt ,
´´º¿µ
ÓÓ ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ×× ÙÙØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ø f (t) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׸ ÑÑÑÑ ÔÔÖÖ¹
ÓÓÓ ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ººº f (t + 2π/ω e ) = f (t)µº
ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÙÐÐ Ù ØØØÓÖÖÑÑ ÐÓÕÙÙع¹ÐÓÓÓ ½ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f (t) ÓÓØ ØÖÖ Ò ××ÖÖÖ ÓÙÖÖÖÖ
ÓÒØØÒÒÒØ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ׺ ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ׸ ÙÒ
ÐÐÙÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
½ × ÒÓÑ× Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÖÖÒÒÒÒ× ÐÐÐ ÅÅÖÖÖ ×ØÓÒ ´½½½½¹½½¾¼µ Ø Ù
ÔÔÝ×××××Ò ×ÙÙ××× ÐÐÜ ´½½¼¼¹½½½¿µ¸ ÔÖÖÜ ÆÓÓÓÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ Ò ½½½¾º ÄÄ ØØØÓÖÖÑÑ
ÐÓÓ¸ ÔÔÖÖÓÓ× ÒÓÑÑÑ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ØØ ÒÓÒÒÒ ÔÔÖ º ÐÓÓ Ò
¿ ÑÑÒ××ÓÒ× ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ º ÐÓ¹
ÕÙÙظ ÒÓÒÒÒ¸ Ò ×ÙÙ×ØØÒÒÒ¸ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒÒ× ÚÓÐÙÙÒØ Ò× ÙÒ ÑÑÐÐÐÙ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ¿ ÑÑÒ××ÓÒ×
ÒÒ ×× ÔÔ× Ø ÕÙ³³ÐÐÐ× ×× ÔÖÓÔÔÔÔÒØ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ ÐÐÐ Ù ÑÑÐÐÐÙº