º ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½¿¿
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ÖÖ×× ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ³³×Ø ÐÐ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ ³ÙÒ ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖº
Ò Ô Ó × Ò Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A ÓÑÑÑ A = ρe
iθ
¸ Ó ρ ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ø θ ÐÐ ÔÔÔ×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ×××ÒÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ Ò
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ׸ ×ÓÓØ
˙
ρ = ρ − ρ
3
´´º¿¿µ
Ø
˙
θ = αρ
2 .
´´º¿¿µ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ρ 0 = 0 Ø ρ ± = ±1º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ
ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ½ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺ ÔÖÖ× ÙÒÒ ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ρ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ØØÒÒ ÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
×ØØØÐÐ× ´Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÚÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÔÓÓÒØ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ×µ
ρ ± = ±1º ÍÒÒ ÓÓ× ÕÙÙ ρ ØØØØÒØ ÐÐ ÔÓÓÒØ Üܸ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ØØÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ˙
θ = α¸ ¸ Ó Ò Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
θ = θ 0 + αt
´´º¿¿µ
ÓÓ θ 0 ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒØØØÐк Ò×׸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ×³³³ÖÖØ ÔÓÙÖ × ØØÑÔ×
×××Þ ÐÓÒÒ׸ ÓÑÑÑ ÙÒ ÖÖÐÐ ÖÖÝÓÒ ÙÒÒØØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ¸ ×ÓÓØ A
A(t → ∞) = ±e
i(θ0+αt)
= e
i(θ0+αt±π)
´´º¿¿µ
ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÔÔÔ×× ÐÐ π ´ −1 = e
iπ
µº Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
× ÔÔÔ××× (X, Y ) ´´Ú A = X + iY µ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÖÖÐÐ
ÖÖÝÓÒ ÙÒÒØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº ÖÖÐÐ ×Ø ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸
Ø ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙÐÐÐ× ÕÙÙ ×ÓÓÓÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÖÖÐРР׳³³³Ø ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐк
ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º¿¿µ ÕÙÙ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ × ØØÖÑÑ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ÄÄ×
ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ ρ Ø θ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º¿¿ Ø º¿¿µ ׳³³ÖÖÚÚÒØ
ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
˙
ρ = ρ − ρ
3 ,
˙
θ = αρ
2 .
´´º¿¿µ
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ρ 0 = 0 Ø ρ ± = ±
√
¸ ÔÓÙÖ > 0º È ÓÙÖ < 0¸ ρ = 0 ×Ø
гÙÒÒÕÙÙ ÔÓÓÒØ Üܸ Ø Ð ×Ø ×ØØØÐк ÈÓÙÖ > 0¸ ρ 0 = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ρ ± = ±
√
×ÓÒØ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ׺ ÄÄ ÖÖÒÒ ØØÑÔ× ×Ø ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÖÖÝÓÒ
√
º
½ ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÓÒ ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐРг³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÓÑÑÑ ˙
ρ = −∂ρV Ú V = −ρ 2 /2 + ρ 4 /4º ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ V ÔÓ××××× ÙÒ
ÑÑÜÜÑÙÑ Ò ρ = 0 ´ÔÓÓÒØ Ò×ØØØÐе Ø ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ Ò ρ = ±1 ´ÔÓÓÒØ× Ò×ØØØÐÐ×µº
½¿¿
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ÖÖ×× ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ³³×Ø ÐÐ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ ³ÙÒ ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖº
Ò Ô Ó × Ò Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A ÓÑÑÑ A = ρe
iθ
¸ Ó ρ ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ø θ ÐÐ ÔÔÔ×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ×××ÒÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ Ò
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ׸ ×ÓÓØ
˙
ρ = ρ − ρ
3
´´º¿¿µ
Ø
˙
θ = αρ
2 .
´´º¿¿µ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓ××××× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ρ 0 = 0 Ø ρ ± = ±1º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ
ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ½ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺ ÔÖÖ× ÙÒÒ ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ρ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ØØÒÒ ÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
×ØØØÐÐ× ´Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÚÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÔÓÓÒØ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ×µ
ρ ± = ±1º ÍÒÒ ÓÓ× ÕÙÙ ρ ØØØØÒØ ÐÐ ÔÓÓÒØ Üܸ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ØØÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ˙
θ = α¸ ¸ Ó Ò Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
θ = θ 0 + αt
´´º¿¿µ
ÓÓ θ 0 ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒØØØÐк Ò×׸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ×³³³ÖÖØ ÔÓÙÖ × ØØÑÔ×
×××Þ ÐÓÒÒ׸ ÓÑÑÑ ÙÒ ÖÖÐÐ ÖÖÝÓÒ ÙÒÒØØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ¸ ×ÓÓØ A
A(t → ∞) = ±e
i(θ0+αt)
= e
i(θ0+αt±π)
´´º¿¿µ
ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÔÔÔ×× ÐÐ π ´ −1 = e
iπ
µº Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
× ÔÔÔ××× (X, Y ) ´´Ú A = X + iY µ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÖÖÐÐ
ÖÖÝÓÒ ÙÒÒØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº ÖÖÐÐ ×Ø ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸
Ø ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙÐÐÐ× ÕÙÙ ×ÓÓÓÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÖÖÐРР׳³³³Ø ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐк
ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º¿¿µ ÕÙÙ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ × ØØÖÑÑ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ÄÄ×
ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ ρ Ø θ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º¿¿ Ø º¿¿µ ׳³³ÖÖÚÚÒØ
ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
˙
ρ = ρ − ρ
3 ,
˙
θ = αρ
2 .
´´º¿¿µ
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ρ 0 = 0 Ø ρ ± = ±
√
¸ ÔÓÙÖ > 0º È ÓÙÖ < 0¸ ρ = 0 ×Ø
гÙÒÒÕÙÙ ÔÓÓÒØ Üܸ Ø Ð ×Ø ×ØØØÐк ÈÓÙÖ > 0¸ ρ 0 = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ρ ± = ±
√
×ÓÒØ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ׺ ÄÄ ÖÖÒÒ ØØÑÔ× ×Ø ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÖÖÝÓÒ
√
º
½ ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÓÒ ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐРг³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÓÑÑÑ ˙
ρ = −∂ρV Ú V = −ρ 2 /2 + ρ 4 /4º ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ V ÔÓ××××× ÙÒ
ÑÑÜÜÑÙÑ Ò ρ = 0 ´ÔÓÓÒØ Ò×ØØØÐе Ø ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ Ò ρ = ±1 ´ÔÓÓÒØ× Ò×ØØØÐÐ×µº