½¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÆÓÙ× ÙØØÐÐ××ÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ гÙÒÒ Ó٠г³ÙØÖÖ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾ ÓÙ ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ××ÐÓÒ ÐÐ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÖÖÖÐ×
×ÓÒØ ³ÓÖÖÖÖ ÙÒ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÖÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ Ø ÔÔÔÖÖÖØÖÖ
ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÐÐ Ò Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×× Ò×× ÓÑÑÑ
1/2
¸ Ø ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÓÑÑÑ º
º½ºº ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÔÔØØØ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÜÔÐÐÐÐØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µº ÆÓØÓÒ× ØÓÙØ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ×Ø ×ÓÙ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ
t → t + θ¸ Ó θ ×Ø ÙÒÒ ÖÖÖÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ÔÖÖ××ÖÚÖ
ØØØ ÒÚÚÖÖÖÒÒÒº ÍÒÒ ØØÐÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÖ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÚÚÚÒØ ¹
ØÙÙÖ Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÖÓØØØØÓÒ
A → Ae
iθ
´´º¿¿µ
×ÙÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÌÓÙØ ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ××ÖÖ ØØ Ù ØØÙÖ e
iθ
º ÈÓÙÖ ÔÖÖ××ÖÚÚÖ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÙÙÙ×××ÒØ
ØØØ ÑÑÑÑ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÓÒØ ÙØÓÖÖ××׺ ÖÖÚÓÒ× Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ØÓÙ× ÐÐ×
ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓ××××ÐÐ× Ø ØÙÙÙÓÒ× ÐÐÙÖ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ
t → t + θ
A
2
→ A
2 e
2iθ ,
AA
∗
→ AA
∗
, A
∗2
→ A
∗2 e
−2iθ
A
3
→ A
3 e
3iθ , A
2 A
∗
→ A
2 A
∗ e
iθ , A
∗2 A → A
∗2 Ae
−iθ ,
A
∗3
→ A
∗3 e
−3iθ .
ËËÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÓØ ØÖÖ ÖÖØØÒÙ Ù
ØÓÙ× ÐÐ× ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ÒÒ ××ØØ××ÓÒØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ Ø ×ÓÒØ Ø Ó Ò
ÐÐÑÑÒÒ׺ Ø ÜÔÐÐÕÙ٠гÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ×ÓÙÐÐÐÒÒ ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÖ××к
º½ºº ÈÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÔÖÓÔÖÖÖØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º¿¾µ ×Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÓÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× Ò
Ø ×³³³ÖÖÖÖ ÓÑÑÑ ÖÖÚÒØ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº ∂A/∂t = −∂V/∂A
∗
¸ ÚÚÚ
dV /dt ≤ 0 Ø V ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐи ÓÙ ÓÒÒØØÓÒ ÄÝÔÙÒÓÚ
´××ÙÙ Ò× ÐÐ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ α = 0µµº ÓÒØÖÖ×ØØ ÐÐ× ØÙÙÙ× ÑÑÒÒÒ×
Ò× ÐÐ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ´ÚÓÓÖ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾ Ù ¾
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÄÝ Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÆÓÙ× ÙØØÐÐ××ÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ гÙÒÒ Ó٠г³ÙØÖÖ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾ ÓÙ ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ××ÐÓÒ ÐÐ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÖÖÖÐ×
×ÓÒØ ³ÓÖÖÖÖ ÙÒ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÖÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ Ø ÔÔÔÖÖÖØÖÖ
ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÐÐ Ò Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×× Ò×× ÓÑÑÑ
1/2
¸ Ø ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÓÑÑÑ º
º½ºº ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÔÔØØØ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÜÔÐÐÐÐØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µº ÆÓØÓÒ× ØÓÙØ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ×Ø ×ÓÙ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ
t → t + θ¸ Ó θ ×Ø ÙÒÒ ÖÖÖÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ÔÖÖ××ÖÚÖ
ØØØ ÒÚÚÖÖÖÒÒÒº ÍÒÒ ØØÐÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÖ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÚÚÚÒØ ¹
ØÙÙÖ Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÖÓØØØØÓÒ
A → Ae
iθ
´´º¿¿µ
×ÙÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µº ÌÓÙØ ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ××ÖÖ ØØ Ù ØØÙÖ e
iθ
º ÈÓÙÖ ÔÖÖ××ÖÚÚÖ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÙÙÙ×××ÒØ
ØØØ ÑÑÑÑ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÓÒØ ÙØÓÖÖ××׺ ÖÖÚÓÒ× Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ØÓÙ× ÐÐ×
ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓ××××ÐÐ× Ø ØÙÙÙÓÒ× ÐÐÙÖ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ×ÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ
t → t + θ
A
2
→ A
2 e
2iθ ,
AA
∗
→ AA
∗
, A
∗2
→ A
∗2 e
−2iθ
A
3
→ A
3 e
3iθ , A
2 A
∗
→ A
2 A
∗ e
iθ , A
∗2 A → A
∗2 Ae
−iθ ,
A
∗3
→ A
∗3 e
−3iθ .
ËËÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÓØ ØÖÖ ÖÖØØÒÙ Ù
ØÓÙ× ÐÐ× ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ÒÒ ××ØØ××ÓÒØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ Ø ×ÓÒØ Ø Ó Ò
ÐÐÑÑÒÒ׺ Ø ÜÔÐÐÕÙ٠гÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ×ÓÙÐÐÐÒÒ ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÖ××к
º½ºº ÈÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÔÖÓÔÖÖÖØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º¿¾µ ×Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÓÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× Ò
Ø ×³³³ÖÖÖÖ ÓÑÑÑ ÖÖÚÒØ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº ∂A/∂t = −∂V/∂A
∗
¸ ÚÚÚ
dV /dt ≤ 0 Ø V ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐи ÓÙ ÓÒÒØØÓÒ ÄÝÔÙÒÓÚ
´××ÙÙ Ò× ÐÐ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ α = 0µµº ÓÒØÖÖ×ØØ ÐÐ× ØÙÙÙ× ÑÑÒÒÒ×
Ò× ÐÐ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ´ÚÓÓÖ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾ Ù ¾
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÄÝ Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ