º ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½¿¿
º½º¿ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ÙØØÐÐ× ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ A ∼ e
T /2
= e
tt/2
= e
tωr
¸ ÓÓ ω r ×Ø ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº ÈÐÙ× ÒÒÖÖÐÐÑÑÒظ ØÓÙØ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒØÖÓ¹
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×Ø ÖÖØ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
∂A/∂t = ω r Aº ÄÄ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ò ÒÒÖÖи
ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ (a+ib)|A|
2 A ´ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ×µº Ò×׸
ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂A
∂T
= ¯
ω r A − (a + ib)|A|
2 A .
´´º¿½µ
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù׸ ÒÓÙ× ÖÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω r ××Ù ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
ω r ØØÐ ÕÙÙ ω r = ¯ ω r ¸ ÔÓÙÖ
×ÓÙÐÐÐÒÒÖ ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÕÙÙ ÔÓÙÖ = 0¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ׳³ÒÒÙÐÐ ´¯ ω r ×Ø
ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ ³ÓÖÖÖÖ ÙÒµº ÄÄ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÙÙ
º ÄÄ ×××ÒÒ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ÒÒ ×ÙÙØ ÔÔ× ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐÐ
××ÑÔÐÐ Ð ÔÔÙØ ØÖÖ Ù××× Ò ÔÓ××ØØØ ÕÙÙ ÒÒÒÒØØظ ظ г³ÜÜÜÔØØÓÒ ÕÙÙÐÕÙÙ×
× ÖÖÖÖ× ÓÓ ÐÐ ×××ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÒØÙÙØظ Ð ÓÓØ ØÖÖ ÐÐÙÐÐ ÔÓÙÖ ×Ý×ØØÑѺ
ËË ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÔÓ××ØØÚÚ ´a > 0µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³ÓÔÔÓ×× ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙº ËË Ù
ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÒÒÒÒØØÚ ´ a < 0µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ÚÙÖ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ø ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÚÚÖÖÖÒØØ Ð³³ÒÒÒÒº Ò× ÙÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ¸ ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù
×Ý×ØØÑѸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ØÖÖ Ú ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× Ò
¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ØØ ÚÙ ÐÓÖ× ÐÐ ××Ù×××ÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ
Ú Ò× ÐÐ ¿º
ÄÄ ÒÓÑÑÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÙÙØ ÖÖÖÖ
ÙÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ׺ ü Ø Ø¸ ØÙÓÒ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
A → A/
¯
ω r /a Ø T → T ¯
ω r ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÒ ××ÙÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α
∂A
∂T
= A − (1 + iα)|A|
2 A ,
´´º¿¾µ
ÓÓ α = b/aº
ÁÐ ×ظ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÔÔÖÖÓÓ× ÙØØÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
Ú ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÐк ÈÓÙÖ Ðи ØÙÓÒ× ÐÐ× ØÖÖÒ××ÓÖ¹
ÑÑØØÓÒ× ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A →
√
A/
¯
ω r /a ÔÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ½¿
T → t¯ ω r ¸ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿½µ ÕÙÙÙÖØ ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÒØØ
∂A
∂t
= A − (1 + iα)|A|
2 A .
´´º¿¿µ
½¿ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ T ×Ø ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ Ø t ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÖÖÔÔÔÔ¸
ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½º½º
½¿¿
º½º¿ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ÙØØÐÐ× ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ A ∼ e
T /2
= e
tt/2
= e
tωr
¸ ÓÓ ω r ×Ø ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº ÈÐÙ× ÒÒÖÖÐÐÑÑÒظ ØÓÙØ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒØÖÓ¹
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×Ø ÖÖØ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
∂A/∂t = ω r Aº ÄÄ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ò ÒÒÖÖи
ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ (a+ib)|A|
2 A ´ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ×µº Ò×׸
ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂A
∂T
= ¯
ω r A − (a + ib)|A|
2 A .
´´º¿½µ
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù׸ ÒÓÙ× ÖÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω r ××Ù ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
ω r ØØÐ ÕÙÙ ω r = ¯ ω r ¸ ÔÓÙÖ
×ÓÙÐÐÐÒÒÖ ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÕÙÙ ÔÓÙÖ = 0¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ׳³ÒÒÙÐÐ ´¯ ω r ×Ø
ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ ³ÓÖÖÖÖ ÙÒµº ÄÄ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÙÙ
º ÄÄ ×××ÒÒ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ÒÒ ×ÙÙØ ÔÔ× ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐÐ
××ÑÔÐÐ Ð ÔÔÙØ ØÖÖ Ù××× Ò ÔÓ××ØØØ ÕÙÙ ÒÒÒÒØØظ ظ г³ÜÜÜÔØØÓÒ ÕÙÙÐÕÙÙ×
× ÖÖÖÖ× ÓÓ ÐÐ ×××ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÒØÙÙØظ Ð ÓÓØ ØÖÖ ÐÐÙÐÐ ÔÓÙÖ ×Ý×ØØÑѺ
ËË ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÔÓ××ØØÚÚ ´a > 0µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³ÓÔÔÓ×× ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙº ËË Ù
ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÒÒÒÒØØÚ ´ a < 0µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ÚÙÖ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ø ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÚÚÖÖÖÒØØ Ð³³ÒÒÒÒº Ò× ÙÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ¸ ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù
×Ý×ØØÑѸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ØÖÖ Ú ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× Ò
¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ØØ ÚÙ ÐÓÖ× ÐÐ ××Ù×××ÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ
Ú Ò× ÐÐ ¿º
ÄÄ ÒÓÑÑÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÙÙØ ÖÖÖÖ
ÙÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ׺ ü Ø Ø¸ ØÙÓÒ× ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
A → A/
¯
ω r /a Ø T → T ¯
ω r ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÒ ××ÙÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α
∂A
∂T
= A − (1 + iα)|A|
2 A ,
´´º¿¾µ
ÓÓ α = b/aº
ÁÐ ×ظ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÔÔÖÖÓÓ× ÙØØÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
Ú ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÐк ÈÓÙÖ Ðи ØÙÓÒ× ÐÐ× ØÖÖÒ××ÓÖ¹
ÑÑØØÓÒ× ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A →
√
A/
¯
ω r /a ÔÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ½¿
T → t¯ ω r ¸ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿½µ ÕÙÙÙÖØ ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÒØØ
∂A
∂t
= A − (1 + iα)|A|
2 A .
´´º¿¿µ
½¿ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ T ×Ø ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ Ø t ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÖÖÔÔÔÔ¸
ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½º½º