½¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ÐÐ ×ØØÒÒØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ÓÔÔÖÖØØÙÖ×
L Ø L
+
¸ ÔÓÙÖ ÒÓÒÒÒÖ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ´ØÓÙ× ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÙÖ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ×
ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÙØÓ¹¹¹¹ÓÓÒØ× µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØØ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ØÝÔÔ Lu(t) = f (t) ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µº ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ º¾¾ Ø ÐÐ
ÒÒØØÓÒ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ ÒÓÙ×
< Lu, v >=< f, v >=< u, L
+ v > .
´´º¾¾µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ v ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÔÔÖÖÓÓÓ T ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒ¸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÐÐ ÓÑÑÑ Ù ÒÓÝ٠гÓÔÔÖÖØØÙÖ
ÓÓÒØ L
+
Ø ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v Ù ÒÓÝÙ L
+
ÚÚÖÖÖÖ¸ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ
L
+ v = 0 .
´´º¾¾µ
Ò×׸ ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÚÚÚÐÐØØ
ÖÖÖÖÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓØ ××ØØ××××ÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f
< f, v >= 0,
´´º¾¾µ
ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v¸ ÐÐÑÑÒØ Ø Ù Ò Ó ÝÝ٠гÓÔÔÖÖØØÙÖ ÓÓÒØ L
+
º
ظ ØÓÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Lu(t) = f (t) Ò³³ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
f (t) Ù ÑÑÑÑÖÖ ÖÓÓØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÓÖØØÓÓÓÒÒÐÐ Ù ÒÓÝ٠гÓÔÔÖÖ¹
ØØÙÖ ÓÓÒØ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v(t) = 0 ØØÐÐÐ ÕÙÙ L
+ v(t) = 0µº
ØØØÓÖÖÑѸ Ø ØØØÓÖÖÑÑ Ð³³ÐØØÖÒÒØØÚÚ ÖÖÓÐÑ ½¾ ¸ ×Ø ÒÒÖÖÐ Ø ×³³ÔÔÐÐÕÙÙ
ØÓÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Lu(t) = f (t)º
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÙÖ Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ Ù ÙØ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÓÓ
гÓÔÔÖÖØØÙÖ L ×Ø ÒÒ ÓÑÑÑ L ≡
∂
2
∂t 2 + 1 Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÖÖ×ÓÙÙÖÖ f (t) ×Ø ØØÐ ÕÙÙ f (t) ≡ F (T )e
it
º º Ø Ò Ø ÓÒÒÒ ÕÙÙ L = L
+
¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
v ××ØØ××××Ø ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Lv(t) = 0º Æ Ó Ù × × ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ v = ae
it
+ c.c.¸ Ó a
×Ø ÙÒÒ ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÓÒÒØØÓÒ Ò× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÖÖÖÖÓÐѸ < f, v >= 0¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
2π
0
dtF e
it
[ae
it
+ a
∗ e
−it
] = 0 ,
´´º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙÙ v(t) ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ T = 2πº Ò ÒÓØØÒØ ÕÙÙ
г³ÒØØØÖÖÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
2it
×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÒÙÐÐи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓØ ××ØØ××××ÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F
2π
0
F A
∗ dt = 2πa
∗ F .
´´º¿¼µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ a ×Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´a = 0µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÖÖÖÖÓÐÑ < f, v >= 0 ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ Ò ÙÐÐÐ
´F = 0µº ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÓÙ× ÑÑÒÒ ØØØÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×ÓÙ××ÖÖØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A(t)º
½¾ Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ×ÙÙÙÓÓ× ÖÖÖ ÁÚÖ ÖÖÖÖÓÐÑ ´½½½½¹½½¾¾µ ÕÙÙ ØØØÐÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ
ÑÓÓÓÖÒÒ × ÕÙÙØØÓÒ× Ð ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÓÔÔÖÖØØÙÖ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ÐÐ ×ØØÒÒØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ÓÔÔÖÖØØÙÖ×
L Ø L
+
¸ ÔÓÙÖ ÒÓÒÒÒÖ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ´ØÓÙ× ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÙÖ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ×
ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÙØÓ¹¹¹¹ÓÓÒØ× µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÐÐØØ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ØÝÔÔ Lu(t) = f (t) ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µº ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ º¾¾ Ø ÐÐ
ÒÒØØÓÒ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ ÒÓÙ×
< Lu, v >=< f, v >=< u, L
+ v > .
´´º¾¾µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ v ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÔÔÖÖÓÓÓ T ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒ¸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÐÐ ÓÑÑÑ Ù ÒÓÝ٠гÓÔÔÖÖØØÙÖ
ÓÓÒØ L
+
Ø ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v Ù ÒÓÝÙ L
+
ÚÚÖÖÖÖ¸ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ
L
+ v = 0 .
´´º¾¾µ
Ò×׸ ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÚÚÚÐÐØØ
ÖÖÖÖÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓØ ××ØØ××××ÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f
< f, v >= 0,
´´º¾¾µ
ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v¸ ÐÐÑÑÒØ Ø Ù Ò Ó ÝÝ٠гÓÔÔÖÖØØÙÖ ÓÓÒØ L
+
º
ظ ØÓÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Lu(t) = f (t) Ò³³ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
f (t) Ù ÑÑÑÑÖÖ ÖÓÓØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÓÖØØÓÓÓÒÒÐÐ Ù ÒÓÝ٠гÓÔÔÖÖ¹
ØØÙÖ ÓÓÒØ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ v(t) = 0 ØØÐÐÐ ÕÙÙ L
+ v(t) = 0µº
ØØØÓÖÖÑѸ Ø ØØØÓÖÖÑÑ Ð³³ÐØØÖÒÒØØÚÚ ÖÖÓÐÑ ½¾ ¸ ×Ø ÒÒÖÖÐ Ø ×³³ÔÔÐÐÕÙÙ
ØÓÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Lu(t) = f (t)º
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÙÖ Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ Ù ÙØ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÓÓ
гÓÔÔÖÖØØÙÖ L ×Ø ÒÒ ÓÑÑÑ L ≡
∂
2
∂t 2 + 1 Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÖÖ×ÓÙÙÖÖ f (t) ×Ø ØØÐ ÕÙÙ f (t) ≡ F (T )e
it
º º Ø Ò Ø ÓÒÒÒ ÕÙÙ L = L
+
¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
v ××ØØ××××Ø ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Lv(t) = 0º Æ Ó Ù × × ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ v = ae
it
+ c.c.¸ Ó a
×Ø ÙÒÒ ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÓÒÒØØÓÒ Ò× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÖÖÖÖÓÐѸ < f, v >= 0¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
2π
0
dtF e
it
[ae
it
+ a
∗ e
−it
] = 0 ,
´´º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙÙ v(t) ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ T = 2πº Ò ÒÓØØÒØ ÕÙÙ
г³ÒØØØÖÖÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
2it
×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÒÙÐÐи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓØ ××ØØ××××ÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F
2π
0
F A
∗ dt = 2πa
∗ F .
´´º¿¼µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ a ×Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´a = 0µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÖÖÖÖÓÐÑ < f, v >= 0 ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ Ò ÙÐÐÐ
´F = 0µº ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÓÙ× ÑÑÒÒ ØØØÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
º½½µ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×ÓÙ××ÖÖØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A(t)º
½¾ Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ×ÙÙÙÓÓ× ÖÖÖ ÁÚÖ ÖÖÖÖÓÐÑ ´½½½½¹½½¾¾µ ÕÙÙ ØØØÐÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ
ÑÓÓÓÖÒÒ × ÕÙÙØØÓÒ× Ð ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÓÔÔÖÖØØÙÖ׺