º ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½¿¿
×ÓÐÙÙÙÐÐØØ ÓÙ ×ÓÐÚÚÚÚÐÐØظ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ
Lu(t) = f (t), Ú L ≡
∂
2
∂t 2 + 1 ,
´´º¾½µ
ÓÓ L ×Ø ÙÒ ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ø u(t) Ø f (t) ÙÜ ÓÒÒØØÓÒ× ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ tº
ÈÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f (t) ÓÓØ ×ÓÙ××ÖÖÖÖ Ò
ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ÔÓÙÖ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ º¾½ Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÑÙÐØØÔÐÐÓÒ× ØÓÙØ
ÑÑÑÑÖÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ v(t)¸ ¸ Ø
×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ T
T
0
Lu(t) v(t)dt =
T
0
f (t)v(t)dt .
´´º¾¾µ
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ×××ÐÐÐÖÖ ÙÜ
ÓÒÒØØÓÒ× L u(t) Ø v(t)¸ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓØØÖ ½¼
T
0
Lu vdt =< Lu, v >
´´º¾¿µ
Ø ÒÓØÓÒ× L
+
¸ гÓÔÔÖÖØØÙÖ ÓÓÒØ Ø L¸ ÕÙÙ ÓÓØ ×ÓÙ××ÖÖÖÖ¸ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸
< Lu, v >=< u, L
+ v >
´´º¾¾µ
ÆÓÙ× ÖÖÖÖÖÖÖÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× u(t) ØÝÔÔ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ½½ ÔÔÖÖÓÓÓ
T Ø ÓÓ××××ÓÒ× ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ v¸ ÑÑÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓ T º
ij³ÒØØØÖÖØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ º¾¾ ÙÜ ÓÓ× ÔÔÖ ÔÔÖØØØ ´ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ù ØØÖÑÑ
v
∂
2
∂t 2 u(t) ÓÒÒÙÙØ
< Lu, v >=
T
0
dtv(t)[
∂
2
∂t 2 + 1]u(t) =
T
0
u(t)[
∂
2
∂t 2 + 1]v(t) =< u, Lv > ,
´´º¾¾µ
ÓÓ ÓÒ ÙØØÐÐ×׸ Ò ÚÚÖØÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ u Ø v¸ Ð Ø ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ØÓÙØ
ÒØØØÖÖ ×Ø ÒÙк Ò×׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи Ò× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÔÔÖ ÔÔÖØØØ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ØØÖÑÑ Ù ØÝÔÔ [v∂u/∂t]
T
0 = v(T )(∂u/∂t) t=T − v(T )(∂u/∂t) t=0 ¸ Õ Ù
×Ø ÒÙÐ Ò ÚÚÖØÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ × ÓÒÒØØÓÒ× u Ø v ´´Ø ÐÐÙÖ×
Ò×׸ Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÒÒØØÓÒ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÓÓÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸
ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙ٠гÓÔÔÖÖØØÙÖ L ×Ø Ð ×ÓÒ ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÓÒÒÙÙÙÙ L
+
´L =
L
+
µ гÓÔÔÖÖØØÙÖ L ×Ø ÐÓÖ× Ø ÙØÓ¹¹¹¹ÓÓÒØ ´ÓÙ ÖÑÑØØÕÙÙµº
ÈÓÙÖ ØØØÐÐÖ ÐÐ ÐÐÐÒ Ú Ð³³ÒÒÐÝ×× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ Ò ××ÖÖÖ
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒص¸ Ð ×ÙÙØ ÔÓ××Ö u(t) ≡ I 3 (t) Ø f (t) ≡ F (T )e it ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ Ò ÔÓ××ÒØ G = 0 ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ØØÖÑѸ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ
e 3it ¸ ØØØØ ÔÔÙ Ò× ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ò ÖÖÖÖÖÖ Ù ØØÖÑÑ ÖÖ×ÓÒÒÒØ
f (t) ∝ e it µº
½¼ ØØØ ÒÓØØØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÙÙØ ×××ÐÐÐÖÖ ×Ø Ù×ÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÓÔØØØ Ò× ÐРг³ÐÐÐÐÖÖ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒ ÐÐ ÖÖØÖÓÙÚÚ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÕÙÙÒØØÕÙÙ ÔÙÙ×ÕÙ٠г³ÐÐÐÐÖÖ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ý ÓÙÙ
ÙÒ ÖÖÐÐ ÒØÖÖк
½½ ü г³Ò×ØØÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ I 3 г³ÜÜÑÔÐÐ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒغ