½½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¾ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ Ò×ØØØÐÐ
ÆÓÙ× ÚÙ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓÓ¸ ÔÓ××××× ÙÒ ÙÙÙÕÙÙ
ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ Ò³³×Ø ÔÔ× Ò ÒÒÖÖк ÁÐ ÜÜ×ØØ ÒÓÑÑÖÖÙ×××
××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ÓÒ×ØØØÙÙ ×
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò ρ Ø θ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º¿¿ Ø º¿¿µ ×Ø ÐÓÖ× ×ÙÙ×ØØØÙÙ
ÔÔÖ ÐÐ ÒÓÙÚÙ ×Ý×ØØÑÑ
˙
ρ = ρ + ρ
3 ,
˙
θ = αρ
2 .
´´ºº¼µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ > 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ××ÙÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ρ 0 = 0 Ø
Ð ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙ³³Ð ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÓ××××× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ρ 0 = 0
Ø ρ ± = ±
√
−¸ ÑÑÑ׸ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
×Ø Ò×ØØØÐÐ ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü ρ 0 = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÒÒÒÒÒÒÑÑÒØ Ø
ÐÐ× ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ A Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÓÚÒØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖ׺ Ò×׸ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ ÔÔÖØØÖ¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐРг³ÕÙÙØØÓÒ º½¸ ÓÙ ØÓÙØ ÙØÖÖ ÑÓÓÓÐÐ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔµ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³³ÖÖØ
∂A
∂T
= A + (1 − iα)|A|
2 A − (1 + iβ)|A|
4 A .
´´ºº½µ
ÄÄ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙÒØØÕÙÙ¸ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ð³³³××ÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
ÕÙÙØÖÖ Ø ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ¸ ØØÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3 A
∗2
¸ ÖÖ×ÙÐØØ ××× ÔÖÓÔÖÖÖØØ×
×ÝÑÑØÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½ººµº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ³ÓÖÖÖÖ ´´ººº −(1+iβ)µ ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ
ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ > 0µº Ò
ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ÙÒÒ ÓÑÔÓ××ØØÓÒ ØÝÔÔ
A = ρe
iθ
¸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ρ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× θ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ×³³³ÖÖÚÒØ Ø
˙
ρ = ρ + ρ
3
− ρ
5 ,
˙
θ = αρ
2
+ βρ
4 .
´´ºº¾µ
ÄÄ ××Ù×××ÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ρ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ ×Ø ÓÒÒÒÒ
Ò× ÐÐ× ØØØÐ× Ù ¾ Ò×׸ ÔÓÙÖ −1/4 < < < 0¸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÕ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ´ρ = 0 Ø ÙÜ ÔÔÔÖÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÚ ρ = 0µº Ò× Ø ÒØØÖÚÐÐÐ
¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ρ = 0 ÓÓÜÜ×ØØ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µº ÈÓÙÖ <
∗
= −3/16¸ Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ ×Ø ×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø ÑÑØØ×ØØØÐк
ÈÓÙÖ > >
∗
¸ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×׺ ÒÒÐÐÑÑÒظ ÔÓÙÖ > 0¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ
×ÓÐÙØØÓÒ× ρ = 0 ÕÙÙ ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ρ = 0
ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐк Ò× × ÓÓ ρ = 0¸ ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
Ù ØØÑÔ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¾ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ Ò×ØØØÐÐ
ÆÓÙ× ÚÙ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓÓ¸ ÔÓ××××× ÙÒ ÙÙÙÕÙÙ
ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ Ò³³×Ø ÔÔ× Ò ÒÒÖÖк ÁÐ ÜÜ×ØØ ÒÓÑÑÖÖÙ×××
××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ÓÒ×ØØØÙÙ ×
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò ρ Ø θ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º¿¿ Ø º¿¿µ ×Ø ÐÓÖ× ×ÙÙ×ØØØÙÙ
ÔÔÖ ÐÐ ÒÓÙÚÙ ×Ý×ØØÑÑ
˙
ρ = ρ + ρ
3 ,
˙
θ = αρ
2 .
´´ºº¼µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ > 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ××ÙÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ρ 0 = 0 Ø
Ð ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙ³³Ð ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÓ××××× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ρ 0 = 0
Ø ρ ± = ±
√
−¸ ÑÑÑ׸ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
×Ø Ò×ØØØÐÐ ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü ρ 0 = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÒÒÒÒÒÒÑÑÒØ Ø
ÐÐ× ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ A Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÓÚÒØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖ׺ Ò×׸ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ ÔÔÖØØÖ¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐРг³ÕÙÙØØÓÒ º½¸ ÓÙ ØÓÙØ ÙØÖÖ ÑÓÓÓÐÐ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔµ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³³ÖÖØ
∂A
∂T
= A + (1 − iα)|A|
2 A − (1 + iβ)|A|
4 A .
´´ºº½µ
ÄÄ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙÒØØÕÙÙ¸ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ð³³³××ÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
ÕÙÙØÖÖ Ø ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ¸ ØØÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3 A
∗2
¸ ÖÖ×ÙÐØØ ××× ÔÖÓÔÖÖÖØØ×
×ÝÑÑØÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½ººµº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ³ÓÖÖÖÖ ´´ººº −(1+iβ)µ ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ
ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ > 0µº Ò
ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ÙÒÒ ÓÑÔÓ××ØØÓÒ ØÝÔÔ
A = ρe
iθ
¸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ρ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× θ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ×³³³ÖÖÚÒØ Ø
˙
ρ = ρ + ρ
3
− ρ
5 ,
˙
θ = αρ
2
+ βρ
4 .
´´ºº¾µ
ÄÄ ××Ù×××ÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ρ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ ×Ø ÓÒÒÒÒ
Ò× ÐÐ× ØØØÐ× Ù ¾ Ò×׸ ÔÓÙÖ −1/4 < < < 0¸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÕ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ´ρ = 0 Ø ÙÜ ÔÔÔÖÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÚ ρ = 0µº Ò× Ø ÒØØÖÚÐÐÐ
¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ρ = 0 ÓÓÜÜ×ØØ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µº ÈÓÙÖ <
∗
= −3/16¸ Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ ×Ø ×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø ÑÑØØ×ØØØÐк
ÈÓÙÖ > >
∗
¸ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×׺ ÒÒÐÐÑÑÒظ ÔÓÙÖ > 0¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ
×ÓÐÙØØÓÒ× ρ = 0 ÕÙÙ ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ρ = 0
ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐк Ò× × ÓÓ ρ = 0¸ ÐÐ ÔÔÔ×× ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
Ù ØØÑÔ׺