½¿¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò Ù ÐÐÙÐ ÖÖÖØ ÐÐ ÖÖÚ f ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº
ij³ÒØØÖÖØ ÐÐ ÔÔÖ×ÔÔÔØØÚ ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐи Ø ÐÐ ××ÔÔÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÖÖÔÔÔÔ׸ ÖÖ×××× Ò× ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÔÖÖÖØ Ü¹
ÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÚÓÐÙØØÓÒ¸ ÕÙÙ ÐÐØØ ÐÐ ×
ØØÖÑÑ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ º
ÊÊÚÚÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ µ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ
´ < 0µ¸ ÐÐ I ׳³ÒÒÙÐÐ Ù ³ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü I = 0
×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×³³ÒÒÙÐи ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ
I = 0 ÒÒÙØÖÖ¸ ÔÙÙ× Ò×ØØØÐÐ ÕÙÙÒÒ > 0 Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ
³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½¾µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ×ÓÓØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××ØØÚ º
ØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÕÙÙ 1/2 ´I ∼
α
¸ Ú α < 1/2)
××ÒÓÒ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò ××ÖÖÖØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÒØ I
2
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÑÓÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ µ ÕÙÙ ÒÒÒÒÒÐÐÖÖÖØ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÚÚÚÒÒÖÖÖØ ÐÐÐ ³ÙÒ ÖÖÙÙØ RLC ÐÐ×××ÕÙÙ¸
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½µº ÈÓÙÖ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ Ø Ò ××ÖÖÖ
ÔÙÙ×××ÒÒÒ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××××ÐÐ ×Ø ÓÒÒ
1/2
º Ä Ó Ò × Ø Ø
ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÒÓÙ× ÒÒÒØØ ÓÒÒ ÑÑØØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÑÑÒÒÒØØ
Ù ÓÙÖÖÒØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÖÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ×ÓÓØ I(t, T ) ∼
1/2
º
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ ×Ø Ú ÔÐÙ× Ò ÙÒÒ ××ÖÖÖ
ÒÒÐÝØØÕÙÙ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
√
I(t, T ) =
1/2 I 1 (t, T ) + I 2 (t, T ) +
3/2 I 3 (t, T )...
´´º½¾µ
ÄÄ ÑÑØØÓÓÓ ÓÒ×××ØØ Ò×ÙÙØØ ÖÖÔÓÖØØÖ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½¾µ Ø ÙØØÐÐ××Ö Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÖÖÚÚÚ× Ù ÓÙÖÖÒØ ÓÓØØÒÙÙ× ××ÐÓÒ ÐÐ
ÔÔÖ×ÔÔÔØØÚ Ñ ÙÐØع¹¹ÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ µµÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××й
ÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ Ò ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ×
×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ º
ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
1/2
ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½µ ׳³³ÖÖØ
∂
2 I 1
∂t 2 + I 1 = 0 .
´´º½¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
I 1 (t, T ) = A(T )e
it
+ A
∗
(T )e
−it ,
´´º½½µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ Ù ÖÖÙÙØ ×Ø
ÔÓ××ØØÚ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½½ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½µº
ÁÐ ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÐÐ ÓÓÜ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓÙÖ ÚÐÓÔÔÔÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò
××ÖÖÖ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖÐÐÚÚ ³ÙÒ ÖØØØÒ Öظ Ø ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒØØØ ÕÙ³³ÔÖÖ×
ÙÒÒ ÔÔÖÓÓÓÒÒÒÒ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÒÒÙܺ ÔÔÒÒÒÒظ ÔÓÙÖ ÒÓÑÖÖÙÜ ÔÖÓÓÐÐÑÑ×
ÖÖÒÒÓÒØÖÖ× Ò ××××ÒÒÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÓÓÜ Ü×Ø ØÙÙ ×Ø Ò
ØØØÐÐÐ Ø ×× ÑÑÑØÖÖ×× ×³³³ÕÙÙÙÖØ ÚÚØØ ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò Ù ÐÐÙÐ ÖÖÖØ ÐÐ ÖÖÚ f ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº
ij³ÒØØÖÖØ ÐÐ ÔÔÖ×ÔÔÔØØÚ ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐи Ø ÐÐ ××ÔÔÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÖÖÔÔÔÔ׸ ÖÖ×××× Ò× ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÔÖÖÖØ Ü¹
ÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÚÓÐÙØØÓÒ¸ ÕÙÙ ÐÐØØ ÐÐ ×
ØØÖÑÑ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ º
ÊÊÚÚÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ µ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ
´ < 0µ¸ ÐÐ I ׳³ÒÒÙÐÐ Ù ³ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü I = 0
×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×³³ÒÒÙÐи ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ
I = 0 ÒÒÙØÖÖ¸ ÔÙÙ× Ò×ØØØÐÐ ÕÙÙÒÒ > 0 Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ
³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½¾µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ×ÓÓØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××ØØÚ º
ØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÕÙÙ 1/2 ´I ∼
α
¸ Ú α < 1/2)
××ÒÓÒ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò ××ÖÖÖØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÒØ I
2
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÑÓÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ µ ÕÙÙ ÒÒÒÒÒÐÐÖÖÖØ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÚÚÚÒÒÖÖÖØ ÐÐÐ ³ÙÒ ÖÖÙÙØ RLC ÐÐ×××ÕÙÙ¸
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½µº ÈÓÙÖ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ Ø Ò ××ÖÖÖ
ÔÙÙ×××ÒÒÒ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××××ÐÐ ×Ø ÓÒÒ
1/2
º Ä Ó Ò × Ø Ø
ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÒÓÙ× ÒÒÒØØ ÓÒÒ ÑÑØØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÑÑÒÒÒØØ
Ù ÓÙÖÖÒØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÖÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ×ÓÓØ I(t, T ) ∼
1/2
º
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ ×Ø Ú ÔÐÙ× Ò ÙÒÒ ××ÖÖÖ
ÒÒÐÝØØÕÙÙ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
√
I(t, T ) =
1/2 I 1 (t, T ) + I 2 (t, T ) +
3/2 I 3 (t, T )...
´´º½¾µ
ÄÄ ÑÑØØÓÓÓ ÓÒ×××ØØ Ò×ÙÙØØ ÖÖÔÓÖØØÖ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½¾µ Ø ÙØØÐÐ××Ö Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ÖÖÚÚÚ× Ù ÓÙÖÖÒØ ÓÓØØÒÙÙ× ××ÐÓÒ ÐÐ
ÔÔÖ×ÔÔÔØØÚ Ñ ÙÐØع¹¹ÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ µµÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³Ó×××й
ÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ Ò ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ×
×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ º
ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
1/2
ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½µ ׳³³ÖÖØ
∂
2 I 1
∂t 2 + I 1 = 0 .
´´º½¿µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
I 1 (t, T ) = A(T )e
it
+ A
∗
(T )e
−it ,
´´º½½µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ Ù ÖÖÙÙØ ×Ø
ÔÓ××ØØÚ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½½ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½µº
ÁÐ ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÐÐ ÓÓÜ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓÙÖ ÚÐÓÔÔÔÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò
××ÖÖÖ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖÐÐÚÚ ³ÙÒ ÖØØØÒ Öظ Ø ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒØØØ ÕÙ³³ÔÖÖ×
ÙÒÒ ÔÔÖÓÓÓÒÒÒÒ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÒÒÙܺ ÔÔÒÒÒÒظ ÔÓÙÖ ÒÓÑÖÖÙÜ ÔÖÓÓÐÐÑÑ×
ÖÖÒÒÓÒØÖÖ× Ò ××××ÒÒÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÓÓÜ Ü×Ø ØÙÙ ×Ø Ò
ØØØÐÐÐ Ø ×× ÑÑÑØÖÖ×× ×³³³ÕÙÙÙÖØ ÚÚØØ ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙº