º ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½¾¿
ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ÔÓ×ÓÒ× γ = 1 Ø ÜÔÖÖÑÓÒ× ÐÐ ØÖÖÖÖ Ø ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ
ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ
T =
nm − 2nm − m
3
(n + m) 2
, D =
m
2
(1 − m)
n + m
.
´´º¿¿µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ m > 1 ÓÓØ ØÖÖ ÖÖ×ÔÔÔØØØ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ×ÓÓØ Ò ÔÓ××ØØØ ´M 0 > 0µ¸ ÐÐ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×Ø
ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÓ××ØØØ ´D > 0µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ T > 0µ¸ ÔÓÙÖ
ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ØØÐ ÕÙÙ
n > n c ≡
m
2
1 − 2m
.
´´º¿¿µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÕÙÙÒØØØØ׸ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ¸ ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚ× ´D > 0
Ø T > 0µ¸ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÓÒØ Ù Ò ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ
ÜÜ (M 0 , N 0 ) ×Ø Ò×ØØØÐк ÁÒÚÚÖ××ÑÑÒظ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ØØÐ ÕÙÙ n < n c ¸ Ð
ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк
Ò×׸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n = n c Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙ٠г³ÔÔÔÖÖØØÓÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÒÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒº ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
n Ø m ×ÓÒØ ÖÖÐÐÐ׸ Р׳³³³Ø Ò ÖÖÖÐÐØØ ³ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ
´n, mµº ÈÓÙÖ n = n c ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ×Ø ÒÙÐÐÐ ´T = 0µ¸ Ø ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ ×× ××ÑÔÐÐÐÐ Ø ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÔÔÖ
ω
2
= −D = −
m
2
(1 − m)
n + m
≡ −ω
2
0 < 0 .
´´º¿¿µ
Ò×׸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÙÐÐи ÓÑÑÑ
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÚÓÒ× ÒÓÙ× Ý ØØØÒÒÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ×Ø ÒÒÒ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ
n = n c Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÓØØعÎÓÐØØÖÖ¸ ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ ÑÓÓÓÐÐ
ÑÑÐÐÓÖÖ Ø ÒØØÖÚÚÒÒÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÓÑÔÐÐÜÜ ÔÓ×××××ÒØ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ
ÒÓÒ ÒÙÐÐи ××ÙÙ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ³³×Ø Ò ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ØÓÙØØ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº
ÄÄ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ××ÖÖÑÑÒÒ ÙÜ
××ÐÓÒ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒÒÒÑÑÒØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓÓÒØ
ÙÖÖÖØØÓÒº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ n c ¸
ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ (M 0 , N 0 ) ×Ø ×ØØØÐк ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ×ÔÔÖÖÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Üܺ ÄÄ
ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÒØ ÙÒ ÔÙÙØ× ×ÔÔÖÖÐÐ× º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
n c ¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÖÖÔÓÙ××× ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ð ÙÒÒ ×ÓÙÖÖÖ ×ÔÔÖÖÐÐ×׺
ÄÄ ×ÔÔÖÖÐÐ ÒÒÖֹع¹ÐÐÐ ÔÔÖ ××ØÙÖÖÖ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÙÜ × ×× ÔÖÖ××Ò¹
ØØÒØ Ò ÒÒÖÖÐ ´´µ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒØ ÔÔÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐÖ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØظ
ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ´´´µ ÙÙÙÒÒ
××ØÙÖÖØØÓÒ Ò³³ÒØØÖÚÚÚÒØ Ù ×××Ò Ù ÑÓÓÓÐи Ø ÐÐ ×ÔÔÖÖÐÐ ×× ÖÓÙÐРг³ÒÒÒÒº
Ò ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÒÒ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ú ¹
××Ù׸ ÐÐ ØÝÔÔ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ×××
½¾¿
ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ÔÓ×ÓÒ× γ = 1 Ø ÜÔÖÖÑÓÒ× ÐÐ ØÖÖÖÖ Ø ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ
ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ
T =
nm − 2nm − m
3
(n + m) 2
, D =
m
2
(1 − m)
n + m
.
´´º¿¿µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ m > 1 ÓÓØ ØÖÖ ÖÖ×ÔÔÔØØØ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ×ÓÓØ Ò ÔÓ××ØØØ ´M 0 > 0µ¸ ÐÐ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×Ø
ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÓ××ØØØ ´D > 0µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ T > 0µ¸ ÔÓÙÖ
ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ØØÐ ÕÙÙ
n > n c ≡
m
2
1 − 2m
.
´´º¿¿µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÕÙÙÒØØØØ׸ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ¸ ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚ× ´D > 0
Ø T > 0µ¸ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÓÒØ Ù Ò ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ
ÜÜ (M 0 , N 0 ) ×Ø Ò×ØØØÐк ÁÒÚÚÖ××ÑÑÒظ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ØØÐ ÕÙÙ n < n c ¸ Ð
ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк
Ò×׸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n = n c Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙ٠г³ÔÔÔÖÖØØÓÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÒÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒº ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
n Ø m ×ÓÒØ ÖÖÐÐÐ׸ Р׳³³³Ø Ò ÖÖÖÐÐØØ ³ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ
´n, mµº ÈÓÙÖ n = n c ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ×Ø ÒÙÐÐÐ ´T = 0µ¸ Ø ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ ×× ××ÑÔÐÐÐÐ Ø ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÔÔÖ
ω
2
= −D = −
m
2
(1 − m)
n + m
≡ −ω
2
0 < 0 .
´´º¿¿µ
Ò×׸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÙÐÐи ÓÑÑÑ
ÒÓÙ× ÔÓÙÚÚÓÒ× ÒÓÙ× Ý ØØØÒÒÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ×Ø ÒÒÒ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ
n = n c Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÓØØعÎÓÐØØÖÖ¸ ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ ÑÓÓÓÐÐ
ÑÑÐÐÓÖÖ Ø ÒØØÖÚÚÒÒÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÓÑÔÐÐÜÜ ÔÓ×××××ÒØ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ
ÒÓÒ ÒÙÐÐи ××ÙÙ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ³³×Ø Ò ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ØÓÙØØ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº
ÄÄ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ××ÖÖÑÑÒÒ ÙÜ
××ÐÓÒ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒÒÒÑÑÒØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓÓÒØ
ÙÖÖÖØØÓÒº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ n c ¸
ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ (M 0 , N 0 ) ×Ø ×ØØØÐк ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ×ÔÔÖÖÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Üܺ ÄÄ
ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÒØ ÙÒ ÔÙÙØ× ×ÔÔÖÖÐÐ× º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ n ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
n c ¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÖÖÔÓÙ××× ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ð ÙÒÒ ×ÓÙÖÖÖ ×ÔÔÖÖÐÐ×׺
ÄÄ ×ÔÔÖÖÐÐ ÒÒÖֹع¹ÐÐÐ ÔÔÖ ××ØÙÖÖÖ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÙÜ × ×× ÔÖÖ××Ò¹
ØØÒØ Ò ÒÒÖÖÐ ´´µ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒØ ÔÔÖ ×³³ÒÖÓÙÐÐÖ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØظ
ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ × Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ´´´µ ÙÙÙÒÒ
××ØÙÖÖØØÓÒ Ò³³ÒØØÖÚÚÚÒØ Ù ×××Ò Ù ÑÓÓÓÐи Ø ÐÐ ×ÔÔÖÖÐÐ ×× ÖÓÙÐРг³ÒÒÒÒº
Ò ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÒÒ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ú ¹
××Ù׸ ÐÐ ØÝÔÔ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ×××