½¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ ÚÒØ Ð³ÙÒÒØØ Ø ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×× Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε
ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÐÑÑØغ ÐÐ ÐÐ ÐÐÑÑØØ N = ¯
N ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
(1 − N/ ¯
N) ×××ÒÒ Ø ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÖÓÓØ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÄÄ ÔÓÓÒØ
ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ N = ¯
N ×Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ÔÖÓÓÓ׺
ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ×××ÓÒÒ ÖÖÖÒÒÑÑÒØ Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε¸ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÓ¹
×ØØÕÙÙ ×Ø ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒØ Ð Ó Ö Ñ ×Ø Ò×ÔÔÖÖÖ ÔÔÖ ×
ÓÓ××ÖÚØØÓÒ× ØØÖÖÖÖÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿¾µ ×ÓÓØ N
2
(1 − N/ ¯
N )/(N + c) Ú c
ÙÒÒ ´ÔÓÙÖ c = 0¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙµº ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÓÙÔÐÐÐ× ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ×³³³ÖÖØ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
˙
N =
a 1 N
2
(1 −
N
¯
N
)
N + c
− a 1 b 1 N M ,
´´º¾¾µ
˙
M = −a 2 M (1 − b 2 N ) .
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ× ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ¸ N
= N ¯
N ¸ M
= M b 1 ¸ ¸ Ø
t
= a 1 t¸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÖÖÒÒÒÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ
˙
N =
N
2
(1 − N )
N + n
− N M ,
´´º¾¾µ
˙
M = −γM (m − N ) ,
´´º¿¼µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× n = c/ ¯
N ¸ m = 1/( ¯
Nb 2 ) Ø γ = a 2 b 2 ¯
N /a 1 Ò Ó Ù × × ÚÓÒ׸ ÔÔÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÖÖÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× M Ø N ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÙÒÒ
ÔÖÓÐÐÐÐÖÖØØÓÒ ÒÓØØØØÓÒ׺ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× º¿¼ ÑÑØ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
N 0 = m,
M 0 =
m(1 − m)
n + m
,
´´º¿½µ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ m > 1 ´ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× N Ø M ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚ×µº
Ò ÒÓØØÒØ M 1 Ø N 1 ÐÐ× ÚÚÚØØÓÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓÓÒØ M 0 Ø N 0 ¸ ØÙÙÙÓÒ×
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Üܸ Ò ÖÖÖÖÖÖÖÒØ ÐÐ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ×
× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÖÖ×××× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ M 1 = Ae
ωt
Ø N 1 = Be
ωt
º
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× º¿¼ ÓÙÔÐÐÐ×
ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ×ÙÖ ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓØØÖ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÑÑØÖÖÖÖÖÐÐÐ MX = ωX¸ Ó M ×Ø ÙÒÒ ÑÑØÖÖÖÖ 2 × 2
Ø X ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ÓÐÓÒÒÒ A, Bº Ò ÕÙÙ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M − ωI = 0 ´I
×Ø ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ø ÙÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ ´ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ
A = B = 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
ω
2
− T w + D = 0 ,
´´º¿¾µ
ÓÓ T ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M Ø D ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ø Ò ÒÓØØÒØ ω ± ¸ Ò
ÒÒÖÖÐ × ÒÓÑÑÖÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M¸ Ò Ó Ù ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÐÐÐÐØØÖ ÐÐ ØÖÖÖÖ ÓÑÑÑ T = ω + + ω − ¸ Ø ÐÐ ÓÑÑÑ
D = ω + ω − º Ò ××ÑÔÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÐÐÙÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ××Ò× ÐØØÖÖÖ ÐÐ× ÔÖÖÒÒÒÔÔÙÜ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ ÚÒØ Ð³ÙÒÒØØ Ø ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×× Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε
ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐÐÑÑØغ ÐÐ ÐÐ ÐÐÑÑØØ N = ¯
N ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
(1 − N/ ¯
N) ×××ÒÒ Ø ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÖÓÓØ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÄÄ ÔÓÓÒØ
ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ N = ¯
N ×Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ÔÖÓÓÓ׺
ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ×××ÓÒÒ ÖÖÖÒÒÑÑÒØ Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε¸ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÓ¹
×ØØÕÙÙ ×Ø ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒØ Ð Ó Ö Ñ ×Ø Ò×ÔÔÖÖÖ ÔÔÖ ×
ÓÓ××ÖÚØØÓÒ× ØØÖÖÖÖÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿¾µ ×ÓÓØ N
2
(1 − N/ ¯
N )/(N + c) Ú c
ÙÒÒ ´ÔÓÙÖ c = 0¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙµº ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÓÙÔÐÐÐ× ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ×³³³ÖÖØ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
˙
N =
a 1 N
2
(1 −
N
¯
N
)
N + c
− a 1 b 1 N M ,
´´º¾¾µ
˙
M = −a 2 M (1 − b 2 N ) .
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ× ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ¸ N
= N ¯
N ¸ M
= M b 1 ¸ ¸ Ø
t
= a 1 t¸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÖÖÒÒÒÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ
˙
N =
N
2
(1 − N )
N + n
− N M ,
´´º¾¾µ
˙
M = −γM (m − N ) ,
´´º¿¼µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× n = c/ ¯
N ¸ m = 1/( ¯
Nb 2 ) Ø γ = a 2 b 2 ¯
N /a 1 Ò Ó Ù × × ÚÓÒ׸ ÔÔÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÖÖÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× M Ø N ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÙÒÒ
ÔÖÓÐÐÐÐÖÖØØÓÒ ÒÓØØØØÓÒ׺ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× º¿¼ ÑÑØ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
N 0 = m,
M 0 =
m(1 − m)
n + m
,
´´º¿½µ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ m > 1 ´ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× N Ø M ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚ×µº
Ò ÒÓØØÒØ M 1 Ø N 1 ÐÐ× ÚÚÚØØÓÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓÓÒØ M 0 Ø N 0 ¸ ØÙÙÙÓÒ×
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Üܸ Ò ÖÖÖÖÖÖÖÒØ ÐÐ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ×
× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÖÖ×××× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ M 1 = Ae
ωt
Ø N 1 = Be
ωt
º
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× º¿¼ ÓÙÔÐÐÐ×
ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ×ÙÖ ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓØØÖ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÑÑØÖÖÖÖÖÐÐÐ MX = ωX¸ Ó M ×Ø ÙÒÒ ÑÑØÖÖÖÖ 2 × 2
Ø X ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ÓÐÓÒÒÒ A, Bº Ò ÕÙÙ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M − ωI = 0 ´I
×Ø ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ø ÙÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ ´ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ
A = B = 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
ω
2
− T w + D = 0 ,
´´º¿¾µ
ÓÓ T ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M Ø D ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ø Ò ÒÓØØÒØ ω ± ¸ Ò
ÒÒÖÖÐ × ÒÓÑÑÖÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ M¸ Ò Ó Ù ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÐÐÐÐØØÖ ÐÐ ØÖÖÖÖ ÓÑÑÑ T = ω + + ω − ¸ Ø ÐÐ ÓÑÑÑ
D = ω + ω − º Ò ××ÑÔÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÐÐÙÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ××Ò× ÐØØÖÖÖ ÐÐ× ÔÖÖÒÒÒÔÔÙÜ