½¾¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò ÔÓ××ÒØ B = ν ´´ÐÓÖ× A = ±iνCµ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù
ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ÓÑÑÑ
M = M 0 ± 2Cν sin(
√
a 1 a 2 t) ,
N = N 0 + 2ν cos(
√
a 1 a 2 t) .
´´º¾¾µ
ÆÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ M Ø N (M − M 0 )
2 /C
2
+ (N −
N 0 )
2
= 4ν
2
º ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÐÐÐÔ×× ´ÕÙÙ ÙÒ ÖÖÐÐ
×× C = 1¸ Ø Ò× × ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù ÖÖÐÐ ÚÚÙØ 2ν Ø ×ÓÒ ×× ØÖÓÙÚ Ò
(M 0 , N 0 ) Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (M, N )µº
ËË ÖÖ×ÙÐØØØ ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´´ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
Ó×××ÐÐÐÒØص¸ Ð ÒÒ ×³³³³Ø ÔÔ× ÐÐ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØظ Ö¸ ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×¹
ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ´´´´Ð Ù ÖÖÝÓÒ Ù ÖÖÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ C = 1µ × ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ׺ Ò×׸ ÝÝÐÐ ÔÓ××××× Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÙÒ ÓÒØØÒÙÙÑ ÝÝÐÐ×
××Ù× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÚÓÓ××ÒÒ׺ ÇÖ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ Ö
ÈÓи ÒÓÙ× ÚÙ ÕÙÙ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ð ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ø ÒÓÒ
ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× Ù ×Ý×ØØÑѺ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐй
ØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓи ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ××ÙÙ Ò³³ÑÔÓÖØØ ÕÙÙÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
ÚÓÐÙÙ ÚÚÖ× ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØع
ÎÓÐØØÖÖ ÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔ× ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒº ÖÖ×ÙÐØØØ ÖÖ ÐÙÙ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи ×Ý×ØØÑÑ ×××ÔÔØØØ ÑÓÖØظ ÓÓ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ÜÜ×ØØ
ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× ÔÓ××ØØÚ×
´ > 0µº
ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖØ ÔÔÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ÖÖ×××ÑÐÐ ÚÚÒØØØØ ÐÙÙ ³ÙÒ Ó×¹
ÐÐÐØØÙÖ ××Ò× ´×Ý×ØØÑÑ ÍÒ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙ
× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ÒÓÒ ÑÓÖØØØ× Ø ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐк
ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××Ò× ×ÓÒ ÒÒÖÖÖÖ¸
Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐРг³ÒÒÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÐРг³ÒÒÐÐ
ÒÒØØØÐ ´´Ò ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑ××× ××Ò× ÚÚØØ××× ÒÒØØØÐеº ÄÄ ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
×× ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÑÓÓÓÐÐ ÔÓ××××× Ù××× ÙÒÒ ÐÓÓ ÓÒ¹
××ÖÚÚØØÓÒº ÈÓÙÖ ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØØØÐ Ù ÑÓÓÓÐÐ
´Äε ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ Ò ××ÒØ ×ØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐи ×ÓÓØ
˙
M
˙
N
=
dM
dN
= −
a 2 M
a 1 N
1 − b 2 N
1 − b 1 M
´´º¾¾µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
a 1 ln(M ) + a 2 ln(N ) − b 1 a 1 M − a 2 b 2 N = K ,
´´º¾¾µ
ÓÓ K ×Ø ÙÒ ØØÙÖ ´´ÒÒÐÓÓÙÙ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ÑÓÙÚÑÑÒظ
ÓÑÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÔÖÖÖÖصº
Ò ÙÒ ÐÐÑÑØØ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ (M 0 , N 0 )¸ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÒØØØÖÖÖ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ×× ÖÖÖÙÙØ a 1 b
2
1 (M −
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò ÔÓ××ÒØ B = ν ´´ÐÓÖ× A = ±iνCµ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù
ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ÓÑÑÑ
M = M 0 ± 2Cν sin(
√
a 1 a 2 t) ,
N = N 0 + 2ν cos(
√
a 1 a 2 t) .
´´º¾¾µ
ÆÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ M Ø N (M − M 0 )
2 /C
2
+ (N −
N 0 )
2
= 4ν
2
º ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÐÐÐÔ×× ´ÕÙÙ ÙÒ ÖÖÐÐ
×× C = 1¸ Ø Ò× × ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù ÖÖÐÐ ÚÚÙØ 2ν Ø ×ÓÒ ×× ØÖÓÙÚ Ò
(M 0 , N 0 ) Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (M, N )µº
ËË ÖÖ×ÙÐØØØ ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´´ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
Ó×××ÐÐÐÒØص¸ Ð ÒÒ ×³³³³Ø ÔÔ× ÐÐ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØظ Ö¸ ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×¹
ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ´´´´Ð Ù ÖÖÝÓÒ Ù ÖÖÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ C = 1µ × ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ׺ Ò×׸ ÝÝÐÐ ÔÓ××××× Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÙÒ ÓÒØØÒÙÙÑ ÝÝÐÐ×
××Ù× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÚÓÓ××ÒÒ׺ ÇÖ¸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ Ö
ÈÓи ÒÓÙ× ÚÙ ÕÙÙ ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ð ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ø ÒÓÒ
ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× Ù ×Ý×ØØÑѺ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐй
ØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓи ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ××ÙÙ Ò³³ÑÔÓÖØØ ÕÙÙÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
ÚÓÐÙÙ ÚÚÖ× ÐÐ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØع
ÎÓÐØØÖÖ ÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔ× ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒº ÖÖ×ÙÐØØØ ÖÖ ÐÙÙ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи ×Ý×ØØÑÑ ×××ÔÔØØØ ÑÓÖØظ ÓÓ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ÜÜ×ØØ
ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× ÔÓ××ØØÚ×
´ > 0µº
ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖØ ÔÔÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ÖÖ×××ÑÐÐ ÚÚÒØØØØ ÐÙÙ ³ÙÒ Ó×¹
ÐÐÐØØÙÖ ××Ò× ´×Ý×ØØÑÑ ÍÒ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙ
× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ÒÓÒ ÑÓÖØØØ× Ø ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐк
ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××Ò× ×ÓÒ ÒÒÖÖÖÖ¸
Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÜÜÑÑÐРг³ÒÒÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÐРг³ÒÒÐÐ
ÒÒØØØÐ ´´Ò ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑ××× ××Ò× ÚÚØØ××× ÒÒØØØÐеº ÄÄ ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
×× ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÑÓÓÓÐÐ ÔÓ××××× Ù××× ÙÒÒ ÐÓÓ ÓÒ¹
××ÖÚÚØØÓÒº ÈÓÙÖ ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒØØØÐ Ù ÑÓÓÓÐÐ
´Äε ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ Ò ××ÒØ ×ØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐи ×ÓÓØ
˙
M
˙
N
=
dM
dN
= −
a 2 M
a 1 N
1 − b 2 N
1 − b 1 M
´´º¾¾µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
a 1 ln(M ) + a 2 ln(N ) − b 1 a 1 M − a 2 b 2 N = K ,
´´º¾¾µ
ÓÓ K ×Ø ÙÒ ØØÙÖ ´´ÒÒÐÓÓÙÙ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ÑÓÙÚÑÑÒظ
ÓÑÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÔÖÖÖÖصº
Ò ÙÒ ÐÐÑÑØØ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ (M 0 , N 0 )¸ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÒØØØÖÖÖ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ×× ÖÖÖÙÙØ a 1 b
2
1 (M −