º ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½½½
Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× M 1 Ø N 1 ×ÓÒØ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØØØ×
ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÓÓÓÒØ ÐÐÐÐØØÑÑÑÑÒØ ÓÑÑ׸ ÒÓÙ× ÒÒ ÖÖØØÒÓÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò M 1 Ø N 1 × ØØÖÑÑ× ××Ù× × ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
˙
N 1 = a 1 N 1 − a 1 b 1 M 0 N 1 − a 1 b 1 N 0 M 1 ,
˙
M 1 = −a 2 M 1 − a 2 b 2 N 0 M 1 N 1 .
´´º¾½µ
ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÓÒÒ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÓÓÓ¹
ÒØ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÐÓÖ× Ø ÙØÓÒÓÑÑ ´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ Ù ÓÙÖ× Ù
ØØÑÔ×µº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µ ×Ø ÐÐ
ÓÖÑÑ
M 1 (t) = Ae
ωt , N 1 (t) = Be
ωt
´´º¾¾µ
Ú A Ø B × Ø ω ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ ÔÖÖÓÖÖ ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÓÑÔÐÐÜܸ
ØØÖÑÑÒÒÖº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ e
ωt
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× ØØÑÔ× Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ×Ø ÓÒÒ Ò×ØØØÐк
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× A Ø Bº È ÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÓØ ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ´´ººº (A, B) = (0, 0)µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÓÓØ
׳³ÒÒÙÐÐÖº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÙÐ ÒÒØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ¸ ØØ ÖÖÐй
ØØÓÒ ÖÖÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÔÔÐÐÕÙÙÙ
Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐ M 0 Ø N 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´´º½½µ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
ω
2
= −a 1 a 2 < 0 .
´´º¾¿µ
ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a 1 Ø a 2 ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚÚ׸ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω = ±i
√
a 1 a 2 ¸ ¸ × Ø
ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖº ÄÄ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ØØÒØ Ò ÙÐÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ (M 0 , N 0 )
Ò³³×Ø ÒÒ ×ØØØÐи ÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÐÐÐ ×Ø ØØ ÒÒÙØÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ e
ωt
ÒÒ ÖÓÓØ ÒÒ
ÒÒ ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ù ÓÙÖ× Ù
Ø Ñ Ô × Ø Ó Ù Ø Ø Ò Ò Ö Ò Ø Ø Ò ØØØØØ ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒØØØÐк Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ×
ÜÜ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× M = M 0 + M 1 Ø N = N 0 + N 1
M = M 0 + Ae
i
√ a1a2t
+ c.c.
N = N 0 + Be
i
√
a1a2t
+ c.c.
´´º¾¾µ
ÓÓ Ð³³³ÖÖÚÚÚØØÓÒ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ ´M Ø N ×ÓÒØ × ÕÙÙÒ¹
ØØØØ× ÖÖÖÐÐÐ×µº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× A Ø
B¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÓÒ×ØØÒØØ× A/B ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ A/B = ±ib 2 /(a 1 b 1 ) ≡
±iC¸ ¸ Ú C = b 2 /(a 1 b 1 )º
Ò×× ÐÐ× ÒÓÑÑÖÖ× ÔÖÓÓÓ× N Ø ÔÖÖÖÖØØÙÖ× M Ó×××ÐÐÐÒØ Ò ÕÙÙÙÖÖØÙÖÖ
ÔÔÔ×× ´´ººº Ð× ÚÓÐÙÙÒØ Ø ÚÚÚ ÙÒ ÔÔÔ×××× Ð π/2µº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸
ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× A Ø B ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ÜÜÜ× ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ×
×ÓÒØ Ø Ò ÚÚÖÖÖÒØØ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÒÓÑÖÖ× M Ø N ×ÓÒØ Ñ ÙÐØØÔÐÐÐ× ÔÔÖ × ÓÒ×ØØÒØØ×
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ×µº
½½½
Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× M 1 Ø N 1 ×ÓÒØ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØØØ×
ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÓÓÓÒØ ÐÐÐÐØØÑÑÑÑÒØ ÓÑÑ׸ ÒÓÙ× ÒÒ ÖÖØØÒÓÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò M 1 Ø N 1 × ØØÖÑÑ× ××Ù× × ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
˙
N 1 = a 1 N 1 − a 1 b 1 M 0 N 1 − a 1 b 1 N 0 M 1 ,
˙
M 1 = −a 2 M 1 − a 2 b 2 N 0 M 1 N 1 .
´´º¾½µ
ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÓÒÒ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÓÓÓ¹
ÒØ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÐÓÖ× Ø ÙØÓÒÓÑÑ ´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ Ù ÓÙÖ× Ù
ØØÑÔ×µº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µ ×Ø ÐÐ
ÓÖÑÑ
M 1 (t) = Ae
ωt , N 1 (t) = Be
ωt
´´º¾¾µ
Ú A Ø B × Ø ω ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ ÔÖÖÓÖÖ ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÓÑÔÐÐÜܸ
ØØÖÑÑÒÒÖº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ e
ωt
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× ØØÑÔ× Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ ×Ø ÓÒÒ Ò×ØØØÐк
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾½µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× A Ø Bº È ÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÓØ ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ´´ººº (A, B) = (0, 0)µ¸ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÓÓØ
׳³ÒÒÙÐÐÖº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÙÐ ÒÒØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ¸ ØØ ÖÖÐй
ØØÓÒ ÖÖÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÔÔÐÐÕÙÙÙ
Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐ M 0 Ø N 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´´º½½µ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
ω
2
= −a 1 a 2 < 0 .
´´º¾¿µ
ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× a 1 Ø a 2 ×ÓÒØ ÔÓ××ØØÚÚ׸ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ω = ±i
√
a 1 a 2 ¸ ¸ × Ø
ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖº ÄÄ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ØØÒØ Ò ÙÐÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ (M 0 , N 0 )
Ò³³×Ø ÒÒ ×ØØØÐи ÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÐÐÐ ×Ø ØØ ÒÒÙØÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ e
ωt
ÒÒ ÖÓÓØ ÒÒ
ÒÒ ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ù ÓÙÖ× Ù
Ø Ñ Ô × Ø Ó Ù Ø Ø Ò Ò Ö Ò Ø Ø Ò ØØØØØ ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒØØØÐк Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ×
ÜÜ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× M = M 0 + M 1 Ø N = N 0 + N 1
M = M 0 + Ae
i
√ a1a2t
+ c.c.
N = N 0 + Be
i
√
a1a2t
+ c.c.
´´º¾¾µ
ÓÓ Ð³³³ÖÖÚÚÚØØÓÒ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ ´M Ø N ×ÓÒØ × ÕÙÙÒ¹
ØØØØ× ÖÖÖÐÐÐ×µº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× A Ø
B¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÓÒ×ØØÒØØ× A/B ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ A/B = ±ib 2 /(a 1 b 1 ) ≡
±iC¸ ¸ Ú C = b 2 /(a 1 b 1 )º
Ò×× ÐÐ× ÒÓÑÑÖÖ× ÔÖÓÓÓ× N Ø ÔÖÖÖÖØØÙÖ× M Ó×××ÐÐÐÒØ Ò ÕÙÙÙÖÖØÙÖÖ
ÔÔÔ×× ´´ººº Ð× ÚÓÐÙÙÒØ Ø ÚÚÚ ÙÒ ÔÔÔ×××× Ð π/2µº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸
ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× A Ø B ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ÜÜÜ× ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ×
×ÓÒØ Ø Ò ÚÚÖÖÖÒØØ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÒÓÑÖÖ× M Ø N ×ÓÒØ Ñ ÙÐØØÔÐÐÐ× ÔÔÖ × ÓÒ×ØØÒØØ×
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ×µº