½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¾ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ¸ ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÄÄ ÐÐÐÖÖ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØØعÎÓÐØØÖÖ ½½ ´Äε ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
¸ ¸ ¼ µ¸ ×Ø ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÖÖÚÒØ Ð ³ Ò ØØÖÖÖØØÓÒ ÙÜ ×ÔÔÔÔ×
ÓÐÓÓÓÕÙÙ׸ ÓÒØ Ð³ÙÒÒ¸ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ × ÔÖÖÖÖØØÙÖ׸ ÖÓÓØ Ù
г³ÙØÖÖ¸ г³×ÔÔÔÔ × ÔÖÓÓÓ׺ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØ Ø
˙
N = a 1 N (1 − b 1 M )
˙
M = −a 2 M (1 − b 2 N )
´´º½½µ
ÓÓ M Ø N ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ö × Ô Ø Ú ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÖÖÖÖØØÙÖ× Ø ÔÖÓÓÓ׸
ÙÒ Ò×ØØÒØ ÓÒÒÒ ´´´ ×ÓÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÔÔÒÒÒÒØ Ù ØØÑÔ× M (t) Ø N (t)µ
Ø a 1 ¸ a 2 ¸ b 1 ¸ b 2 ×ÓÒØ × ÔÓ××ØØÚÚ׺
Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ ´M = 0µ¸ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ × ÔÖÓÓÓ× ´ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù×µ ÖÓÓØ Ú ÐÐ ØØÑÔ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ ØØÑÔ×
ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ØØØ ×Ø ÐÐ 1/a 1 º
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ´´ºº a 1 N µ ÖÖØ Ð³³ÙÙÑÑÒØØØØÓÒ Ù
ÒÓÑÖÖ ÔÖÓÓÓ× ÙÒÒ ØØÑÔ× 1/a 1 Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ×
´´ººº M = 0µ ÐÐ ×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ (−a 1 b 1 N M ) ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÔÖÓÓÓ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ׺ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ×ÙÙÙØ ÙÒ ÐÐÒ
Ú ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ØØÑÔ× 1/a 2 Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÓÓÓ× ÐÐ ÙÜÜÜÑÑ ØØÖÑÑ
a 2 b 2 N M ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ×ÓÙÖÖÖ ÚÚÚ ´ÓÙ ×ÙÖÚÚÚµ × ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ÔÖÓÚÚÒÒÒØ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÖÓÓÓ׺ ÑÓÓÓÐи Ò ÔÔØ ×× ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÓÒÒÙÙØ ×
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÕÙÙ ×ÙÙغ
º¾º½ ÊÊ×ÙÐØØØ× ××Ù× Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ ´Äε
ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ´Äε ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ×
º½½µ ÑÑØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÖÖÚ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÒÙÐÐÐ ˙
M = ˙
N = 0º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ØÖÖÚÚÚÐ ´M = N = 0µ¸ Ø ÐÐ
×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ Üܸ ÒÓØØ M 0 ÒÒ N 0 ¸ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
M 0 =
1
b 1
,
N 0 =
1
b 2
.
´´º½½µ
ij³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³³³³³ØÙÙ Ò ÑÔÓ××ÒØ ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÙÙØØÓÒ
M 1 Ø N 1 ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Ô Ó Ò Ø M 0 Ø N 0 ¸ ×ÓÓØ
M (t) = M 0 + M 1 (t) ,
N(t) = N 0 + N 1 (t) .
´´º¾¼µ
½½ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ¸ ÔÓÖØØÒØ ÐÐ× ÒÓÑ× Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÐÐÖÖÖ ÂÂÑÑ×
ÄÓØØ ´½½½¼¹½½½½µ Ø Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ¹ÔÔÝ×××××Ò ØØÐÐÐÒ ÎÎØÓ ÎÓÐØØÖÖ ´½½½¼¹½½½¼µ¸ ×Ø ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÑÑØØØÒØ Ò Ù ÙÜ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ
гÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º¾ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ¸ ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÄÄ ÐÐÐÖÖ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØØعÎÓÐØØÖÖ ½½ ´Äε ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
¸ ¸ ¼ µ¸ ×Ø ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÖÖÚÒØ Ð ³ Ò ØØÖÖÖØØÓÒ ÙÜ ×ÔÔÔÔ×
ÓÐÓÓÓÕÙÙ׸ ÓÒØ Ð³ÙÒÒ¸ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ × ÔÖÖÖÖØØÙÖ׸ ÖÓÓØ Ù
г³ÙØÖÖ¸ г³×ÔÔÔÔ × ÔÖÓÓÓ׺ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ´Äε ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØ Ø
˙
N = a 1 N (1 − b 1 M )
˙
M = −a 2 M (1 − b 2 N )
´´º½½µ
ÓÓ M Ø N ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ö × Ô Ø Ú ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÖÖÖÖØØÙÖ× Ø ÔÖÓÓÓ׸
ÙÒ Ò×ØØÒØ ÓÒÒÒ ´´´ ×ÓÒØ Ø × Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÔÔÒÒÒÒØ Ù ØØÑÔ× M (t) Ø N (t)µ
Ø a 1 ¸ a 2 ¸ b 1 ¸ b 2 ×ÓÒØ × ÔÓ××ØØÚÚ׺
Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ ´M = 0µ¸ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ × ÔÖÓÓÓ× ´ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù×µ ÖÓÓØ Ú ÐÐ ØØÑÔ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ ØØÑÔ×
ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ØØØ ×Ø ÐÐ 1/a 1 º
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ´´ºº a 1 N µ ÖÖØ Ð³³ÙÙÑÑÒØØØØÓÒ Ù
ÒÓÑÖÖ ÔÖÓÓÓ× ÙÒÒ ØØÑÔ× 1/a 1 Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ×
´´ººº M = 0µ ÐÐ ×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ (−a 1 b 1 N M ) ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
ÔÖÓÓÓ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ׺ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ×ÙÙÙØ ÙÒ ÐÐÒ
Ú ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ØØÑÔ× 1/a 2 Ò Ð³³³××ÒÒÒ ÔÖÓÓÓ× ÐÐ ÙÜÜÜÑÑ ØØÖÑÑ
a 2 b 2 N M ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ×ÓÙÖÖÖ ÚÚÚ ´ÓÙ ×ÙÖÚÚÚµ × ÔÖÖÖÖØØÙÖ× ÔÖÓÚÚÒÒÒØ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÖÓÓÓ׺ ÑÓÓÓÐи Ò ÔÔØ ×× ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÓÒÒÙÙØ ×
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÕÙÙ ×ÙÙغ
º¾º½ ÊÊ×ÙÐØØØ× ××Ù× Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ ´Äε
ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ´Äε ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ×
º½½µ ÑÑØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÖÖÚ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ÒÙÐÐÐ ˙
M = ˙
N = 0º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ØÖÖÚÚÚÐ ´M = N = 0µ¸ Ø ÐÐ
×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ Üܸ ÒÓØØ M 0 ÒÒ N 0 ¸ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
M 0 =
1
b 1
,
N 0 =
1
b 2
.
´´º½½µ
ij³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×³³³³³ØÙÙ Ò ÑÔÓ××ÒØ ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÙÙØØÓÒ
M 1 Ø N 1 ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ Ô Ó Ò Ø M 0 Ø N 0 ¸ ×ÓÓØ
M (t) = M 0 + M 1 (t) ,
N(t) = N 0 + N 1 (t) .
´´º¾¼µ
½½ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ¸ ÔÓÖØØÒØ ÐÐ× ÒÓÑ× Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÐÐÖÖÖ ÂÂÑÑ×
ÄÓØØ ´½½½¼¹½½½½µ Ø Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ¹ÔÔÝ×××××Ò ØØÐÐÐÒ ÎÎØÓ ÎÓÐØØÖÖ ´½½½¼¹½½½¼µ¸ ×Ø ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÑÑØØØÒØ Ò Ù ÙÜ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ
гÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖº