½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÖÖÖÖ¸ г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ× n ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ n
ÕÙÙØØÓÒ× º
ÓÒ××××ÖÓÒ× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи Ø ÔÓ×ÓÒ× X = I Ø Y = ˙
Iº ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ Ø Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÔÙØ
ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ Ò ØØÖÑÑ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ Ò ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÐÐ
ÓÙÔÐÐ (X, Y )
˙
X = Y
´´º½¿µ
˙
Y = ( − X
2
)Y − X .
´´º½½µ
ij³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ t ÒØÖÖ X Ø Y ÔÔÖÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ´X¸ Y µº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÔÔØØØØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ ¸ ÒÓÙ× ÚÙ Ò× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½½µ ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ
X = I = 2
√
sin(t) ,
´´º½½µ
Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ Y ¸ ÐÐ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ X¸ ÓÑÑÑ
Y = ˙
I = 2
√
cos(t) .
´´º½½µ
ÄÄ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÔÓÙÖ ×³³³×ØÖÖÖÖÖ ÐÐ ÚÚÖÖ¹
ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐи ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
I
2
+ ˙
I
2
= X
2
+ Y
2
= 4
´´º½½µ
³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒ ÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ ÖÖÝÓÒ 2
√
º ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ØØÒÒ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÖ×
ÖÖÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔ× ØØÒÒ ÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒº Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÑÓØ ÒÒÒÒ
×××ÒÒÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ×××Þ ÖÖÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ×Ý×¹
ØØÑѺ ÈÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ׺
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ×Ø Ð³³ÒÚÚÖ×× ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ¸ Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ Ù ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ 1//º ³³×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÐÓÒÒ ×
ÙÜ ØØÑÔ× ÕÙÙ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ ×Ø ÔÔØØظ ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×Øع
ÐÐØØ ×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÐÓÒÒ × Ùܸ Ø ³³×Ø Ò ÐÙÙ ÕÙ³³Ð ÓÒÚÚÚÒØ Ø ×× ÖÖÖÖÖÖÖ
ÕÙÙÒÒ ÓÒ ÔÔÖÐÐ ÐÐ ÐÐÑÑØØ × ÖÖÒÒ× ØØÑÔ׺ ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÑÑÑ Ø¹
ØØÖÖÖ ÔÔÖ ØØØ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ½¼ Ø
ØØÖÖÖØØÙÖ ÓÙ ÕÙÙÐÐÐÐ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÙÒ
ÔÓÓÒØ Ø Ð ³ Ò ØØÖÖÖÙÖ Ù ÖÖÐи г³ÑÔÐÐØÙÙÙ X ÖÓÓØ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÐÐÑÑØØ Ù
ÖÖÐк ÁÒÚÚÖ××ÑÑÒظ ×× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ Ð³³ÜØØÖÖÖÙÖ
Ò ÒØØÒÒÙ¸ ØÓÙØØ ÓÑÒÒÒ×ÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׸ ÕÙÙ ÔÔÙظ Ò× ÖØØØÒ× ×¸ ׳³ÚÚÖÖÖ ÔÐÙ× ÔÔÖÓÔÖÖÖÖ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑѺ
ÆÓÙ× ÖÖØØÒÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ×××ÒÒ ÔÓ××ØØØ Ð³³ÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÒÙÙØ
ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒº
½¼ ÍÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÙÒÒ ÖÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ ÙÒ
ÖÖÐÐ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÖÖÖÖ¸ г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ× n ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ n
ÕÙÙØØÓÒ× º
ÓÒ××××ÖÓÒ× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи Ø ÔÓ×ÓÒ× X = I Ø Y = ˙
Iº ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ Ø Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÔÙØ
ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ Ò ØØÖÑÑ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ Ò ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÐÐ
ÓÙÔÐÐ (X, Y )
˙
X = Y
´´º½¿µ
˙
Y = ( − X
2
)Y − X .
´´º½½µ
ij³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ t ÒØÖÖ X Ø Y ÔÔÖÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ´X¸ Y µº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÔÔØØØØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ ¸ ÒÓÙ× ÚÙ Ò× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½½µ ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ
X = I = 2
√
sin(t) ,
´´º½½µ
Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ Y ¸ ÐÐ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ X¸ ÓÑÑÑ
Y = ˙
I = 2
√
cos(t) .
´´º½½µ
ÄÄ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÔÓÙÖ ×³³³×ØÖÖÖÖÖ ÐÐ ÚÚÖÖ¹
ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐи ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
I
2
+ ˙
I
2
= X
2
+ Y
2
= 4
´´º½½µ
³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒ ÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ ÖÖÝÓÒ 2
√
º ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ØØÒÒ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÖ×
ÖÖÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔ× ØØÒÒ ÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒº Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÑÓØ ÒÒÒÒ
×××ÒÒÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ×××Þ ÖÖÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ×Ý×¹
ØØÑѺ ÈÓÙÖ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÚÒ Ö ÈÓи Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ׺
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ×Ø Ð³³ÒÚÚÖ×× ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ¸ Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ Ù ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ 1//º ³³×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÐÓÒÒ ×
ÙÜ ØØÑÔ× ÕÙÙ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ ×Ø ÔÔØØظ ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×Øع
ÐÐØØ ×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÐÓÒÒ × Ùܸ Ø ³³×Ø Ò ÐÙÙ ÕÙ³³Ð ÓÒÚÚÚÒØ Ø ×× ÖÖÖÖÖÖÖ
ÕÙÙÒÒ ÓÒ ÔÔÖÐÐ ÐÐ ÐÐÑÑØØ × ÖÖÒÒ× ØØÑÔ׺ ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÑÑÑ Ø¹
ØØÖÖÖ ÔÔÖ ØØØ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ½¼ Ø
ØØÖÖÖØØÙÖ ÓÙ ÕÙÙÐÐÐÐ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÙÒ
ÔÓÓÒØ Ø Ð ³ Ò ØØÖÖÖÙÖ Ù ÖÖÐи г³ÑÔÐÐØÙÙÙ X ÖÓÓØ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÐÐÑÑØØ Ù
ÖÖÐк ÁÒÚÚÖ××ÑÑÒظ ×× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ Ð³³ÜØØÖÖÖÙÖ
Ò ÒØØÒÒÙ¸ ØÓÙØØ ÓÑÒÒÒ×ÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׸ ÕÙÙ ÔÔÙظ Ò× ÖØØØÒ× ×¸ ׳³ÚÚÖÖÖ ÔÐÙ× ÔÔÖÓÔÖÖÖÖ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑѺ
ÆÓÙ× ÖÖØØÒÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ×××ÒÒ ÔÓ××ØØØ Ð³³ÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÒÙÙØ
ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒº
½¼ ÍÒ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ×Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÙÒÒ ÖÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ ÙÒ
ÖÖÐÐ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØغ