º ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½½½
ÙÖÖ º¿ ÖÖÑÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÀÓÔÔº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ
ÐÐ× ×ØØØÐÐ× Ø Ò×ØØØÐÐ׺ ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ù ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÖÓÓØ ÓÑÑÑ
√ º Ä
ÔÔÔ×× θ ÖÓÓØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ù Ø ÕÙÙ I Ó×××ÐÐк ÈÓÙÖ Ò×××ØØÖ ×ÙÖ Ø ×ÔÔÔØ ´´Ø
×ÙÖØÓÙØ ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÜ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØص¸ ÒÓÙ× ØÖÖÖÓÒ× Ò× ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÖÖØØÓÒ ÙÒ ÝÝÐÐ ÔÓÙÖ ÒÒÒÕÙÙÖ ÕÙÙ I ×Ø ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׺
Ó×××ÐÐÐÒØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿¸ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ØÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ µº
º½ºº ×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× Ø ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÁÐ ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÔÖÖØØÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ Ò× Ð³³×¹
ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׺ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓÒÒØÙÙÐÐÐ
ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ¸ ××ÙÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐ ÚÚØØ××× Ø ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ¸ ×ÓÒØ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÒØØØÖÖÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖº ÈÓÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÓÓ××Ö ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÔÓ××ØØÓÒ x(t) Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x(t) Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× tº ÅÅÅ× Ò ÐÐÑÑÒÒÒØ
ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ t ÒØÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÖØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x¸ ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ
ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ´x¸ ˙
xµ¸ ÓÒÒ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò×
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׺
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÛØÓÒ ´´´ ØÝÔÔ m¨ x − F (x, ˙
x) = 0¸ Ú m ÐÐ ÑÑ××׸ x
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ø F ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ×××
˙
xµ¸ ÓÑÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò ØØÑÔ׺ ij³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ×Ø ÓÒ×ØÖÙÙØ
ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ x Ø ×× ÖÖÚÚÚ¸ ˙
xº È ÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖØ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ n¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ×ÓÓÒ n ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒº ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÖÖÚÚÚÒØ ØÖÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ
n ÑÑÒ××ÓÒ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x¸ ×× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø ×× nÑÑ
ËË ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÖÖÖØØÑÑÒØ Ô Ö n ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ
½½½
ÙÖÖ º¿ ÖÖÑÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÀÓÔÔº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ
ÐÐ× ×ØØØÐÐ× Ø Ò×ØØØÐÐ׺ ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ù ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ÖÓÓØ ÓÑÑÑ
√ º Ä
ÔÔÔ×× θ ÖÓÓØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ù Ø ÕÙÙ I Ó×××ÐÐк ÈÓÙÖ Ò×××ØØÖ ×ÙÖ Ø ×ÔÔÔØ ´´Ø
×ÙÖØÓÙØ ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÜ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØص¸ ÒÓÙ× ØÖÖÖÓÒ× Ò× ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÖÖØØÓÒ ÙÒ ÝÝÐÐ ÔÓÙÖ ÒÒÒÕÙÙÖ ÕÙÙ I ×Ø ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÑÔ׺
Ó×××ÐÐÐÒØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿¸ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ØÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ µº
º½ºº ×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× Ø ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ
ÁÐ ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÔÖÖØØÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ Ò× Ð³³×¹
ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׺ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓÒÒØÙÙÐÐÐ
ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ¸ ××ÙÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÐÐ ÚÚØØ××× Ø ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ¸ ×ÓÒØ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÒØØØÖÖÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖº ÈÓÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓ¹
ÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÓÓ××Ö ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÔÓ××ØØÓÒ x(t) Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x(t) Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× tº ÅÅÅ× Ò ÐÐÑÑÒÒÒØ
ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ t ÒØÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÖØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x¸ ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ
ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ´x¸ ˙
xµ¸ ÓÒÒ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò×
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׺
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÛØÓÒ ´´´ ØÝÔÔ m¨ x − F (x, ˙
x) = 0¸ Ú m ÐÐ ÑÑ××׸ x
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ø F ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x Ø ÐÐ ÚÚØØ×××
˙
xµ¸ ÓÑÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÒ Ö ÈÓÐ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò ØØÑÔ׺ ij³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ×Ø ÓÒ×ØÖÙÙØ
ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ x Ø ×× ÖÖÚÚÚ¸ ˙
xº È ÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖØ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ n¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ×ÓÓÒ n ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒº ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÖÖÚÚÚÒØ ØÖÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ
n ÑÑÒ××ÓÒ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x¸ ×× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø ×× nÑÑ
ËË ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÖÖÖØØÑÑÒØ Ô Ö n ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ