½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ü г³³³³ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÔÖÖ×××ÒØØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ × ÙÜ ÑÓÝÝÒÒÒ× < ˙
I
2 > Ø < I
2 ˙
I
2 >
< ˙
I
2 >=
1
2
ρ
2
Ø < I
2 ˙
I
2 >=
1
8
ρ
4 .
´´º½¼µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ÖÖ×ÙÐØØØ× × ÑÓÝÝÒÒÒ× Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
ÑÓÝÝÒÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ø ÔÓ×ÓÒ× < ˙
E >= 0¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ×××ÔÔÔ
×Ø ÒÙÐÐÐ Ò ÑÓÝ ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÒÒÐÐÑÑÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ù
I
ρ ±2
√
.
´´º½½µ
º½º¿ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ×
< 0, I = 0
> 0 I = ±2
√
sin(t)
´´º½¾µ
ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ × Ø
ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ù×ÕÙ³³ ׳³ÒÒÙÐÐÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØظ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ Ó×××ÐÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ú ÙÒÒ
ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ 2
√
º
Ò×׸ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ = 0 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒ
ÕÙÙÐÐØØØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÓÓ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ I = 0 ÙÖÕÙÙ Ò ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ×
ÕÙÙ Ó×××ÐÐÐÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ Ò ÖÖÖÐÐØØ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò sin(t + θ) ´´ÚÚÚ θ
ÙÒÒ ÔÔÔ××µ ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒº ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ± sin(t) ÒÒ ×ÓÒØ ÕÙÙ × ×
ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ× ÓÓØØÒÙ× ÔÓÙÖ φ = 0, πº Ò×׸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ
×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÔ×× θº ÁР׳³³³Ø ÐÐ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÜÜÑÔÐÐ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ¸Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÐÐÐÑÑÒÒ ÀÀÀÒÞ
ÀÓÔÔ ´½½½½¹½½½½µº
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙÖÖÒØ Ò ÙÐ I = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ < 0µº Ò Ø¸ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖÖ××ØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ¨
I − ˙
I + I =
0, ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ØÝÔÔ e
t
´ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ
ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØصº ÄÄ ÖÓÓØ ÓÒÒ ÚÚÖ× ÞÞÖÓ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ×
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе¸ ÑÑÑ× ØØÒÒ ´×ÙÖ ÙÒ ÔÐÐÒ
ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙµ ÚÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐе
ÐÐ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ I = 0 ÓÓÒÒÒÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³ ÔÖÓÔÖÖÑÑÒØ ÔÔÖÐи ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ × ÑÓÝÝÒÒÒ× Ò×× ÓÓØØÒÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ØÓØØÐÐÑÑÒØ
ÜÜÜØظ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×Ø ÑÓÓÓÓÓÓ ÔÔÖ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÔÖÖ×× Ò
ÓÑÔØØ ÔÐÐÐÐÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÖÖÚÚÚÒØ ÒÒÐÙÖÖ × Ø× ³ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ò× ÐÐ ÐÐÙÐ × ÑÓÝÒÒÒ׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÒØØÖÖ××ÓÒ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÐÐÐÐÐ× ÔÓÙÖ × ØØÑÔ× ÐÓÒÒ× ÔÓÙÖ
ÒÓÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ü г³³³³ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÔÖÖ×××ÒØØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ × ÙÜ ÑÓÝÝÒÒÒ× < ˙
I
2 > Ø < I
2 ˙
I
2 >
< ˙
I
2 >=
1
2
ρ
2
Ø < I
2 ˙
I
2 >=
1
8
ρ
4 .
´´º½¼µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ÖÖ×ÙÐØØØ× × ÑÓÝÝÒÒÒ× Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
ÑÓÝÝÒÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ø ÔÓ×ÓÒ× < ˙
E >= 0¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ×××ÔÔÔ
×Ø ÒÙÐÐÐ Ò ÑÓÝ ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÒÒÐÐÑÑÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ρ Ù
I
ρ ±2
√
.
´´º½½µ
º½º¿ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ×
< 0, I = 0
> 0 I = ±2
√
sin(t)
´´º½¾µ
ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ × Ø
ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ù×ÕÙ³³ ׳³ÒÒÙÐÐÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØظ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ Ó×××ÐÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ú ÙÒÒ
ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ 2
√
º
Ò×׸ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ = 0 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒ
ÕÙÙÐÐØØØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÓÓ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ I = 0 ÙÖÕÙÙ Ò ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ×
ÕÙÙ Ó×××ÐÐÐÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ Ò ÖÖÖÐÐØØ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò sin(t + θ) ´´ÚÚÚ θ
ÙÒÒ ÔÔÔ××µ ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒº ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ± sin(t) ÒÒ ×ÓÒØ ÕÙÙ × ×
ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ× ÓÓØØÒÙ× ÔÓÙÖ φ = 0, πº Ò×׸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ
×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÔ×× θº ÁР׳³³³Ø ÐÐ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÜÜÑÔÐÐ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ¸Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÐÐÐÑÑÒÒ ÀÀÀÒÞ
ÀÓÔÔ ´½½½½¹½½½½µº
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙÖÖÒØ Ò ÙÐ I = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ < 0µº Ò Ø¸ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖÖ××ØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ¨
I − ˙
I + I =
0, ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ØÝÔÔ e
t
´ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ ÔÔÖ
ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØصº ÄÄ ÖÓÓØ ÓÒÒ ÚÚÖ× ÞÞÖÓ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ×
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе¸ ÑÑÑ× ØØÒÒ ´×ÙÖ ÙÒ ÔÐÐÒ
ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙµ ÚÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐе
ÐÐ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ I = 0 ÓÓÒÒÒÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³ ÔÖÓÔÖÖÑÑÒØ ÔÔÖÐи ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ × ÑÓÝÝÒÒÒ× Ò×× ÓÓØØÒÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ØÓØØÐÐÑÑÒØ
ÜÜÜØظ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×Ø ÑÓÓÓÓÓÓ ÔÔÖ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÔÖÖ×× Ò
ÓÑÔØØ ÔÐÐÐÐÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ÖÖÚÚÚÒØ ÒÒÐÙÖÖ × Ø× ³ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ò× ÐÐ ÐÐÙÐ × ÑÓÝÒÒÒ׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÒØØÖÖ××ÓÒ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÐÐÐÐÐ× ÔÓÙÖ × ØØÑÔ× ÐÓÒÒ× ÔÓÙÖ
ÒÓÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ׺