º ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
½½¿
ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ÐÐ ØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ù ÖÖÙÙØ RLC ÓØØ ³ÙÒÒ
ØÙÒÒÒи Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒ¹
ÖÖ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÐÐÐÐÐ× Ò× ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ÓÓ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ (I
2
− ) ×Ø
ÔÓ××ØØÚº
º½º¾ ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
ººµ¸ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ (I
2
− ) ÒÒÒ ×××ÒÒ ÔÓÙÖ I =
√
¸ ÕÙÙ ÒÒÒÕÙÙ
ÕÙÙ ÐÐ I ÖÖ×ØØ ÔÔØØظ гÓÖÖÖÖ
√
º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖÖÖ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
√
º ÄÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÐÐ ××ÖÖÖ ÔÔÙظ ÔÖÖÓÖÖ¸ ØÖÖ ØÖÓÒÕÙÙÙ
ÙÒ ÖØØØÒ ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÑÑÒØ Ù ×ÔÓ××ØØØ ×Ø ÐÓÖ× Ø
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº Ò× ÖÖÖÖÑѸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÐ ÚÖÖÖØ
ÚÚÚÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ØØÒØØÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×Ø ÐÐÑÑÒØ ÒÒØÙÖÖ Ó×××ÐÐÐÒØغ ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò×× ÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÕÙÙ×× ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓØØØ ρ¸ ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖº ËË ÓÓÜ
×ÓÐÙØØÓÒ ×³³ÚÚÖÖÖØ ÒÒÔÔÖÓÔÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ò ××ÖÖÓÒ× ÚÖØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒ¹
ÖÓÒØØØØÓÒ ÙÒÒ ÙÒÒ ØØÔÔ ÓÙ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ ØÝÔÔ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒظ ÓÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒÒ ÝÔÓØØØ×× ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ¹
ØØÚÚÑÑÒØ Ú ÐÐÐÐÐ ×× Ò³³ÔÔÔÖÖÖØ ÙÙÙÒÒ Ù ÓÙÖ× ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѸ ×Ø ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ÓÙÖÖÒØ Ø Ò Ô Ý××ÕÙÙ Ø ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ ÔÖÓÓÓÓÓ ÐÐ
Ù×ØØØØØØØÓÒ × ÓÓÜ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò ×Ø ÑÑÒÒ ØÙÙÖ ÔÓÙÖ ÐÐÐÓÖÖÖ
ÙÒ ÑÓÓÓÐк ÊÊÊÊÊÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
I ρ sin(t) .
´´ººµ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ×× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ×××ÔÔÔ ÓÓØ
ØÖÖ ÒÙÐÐÐ Ò ÑÓÝÝÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒº ÓÑÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ E
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
E =
1
2
( ˙
I
2
+ I
2
) ,
´´ººµ
ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ØØÑÔÓÖÖÐÐРг³ÒÒÖÖÖÖ¸
׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ
˙
E =
1
2
(2 ˙
I ¨
I + 2I ˙
I) = ( − I
2
) ˙
I
2 ,
´´ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÐÐØغ ÄÄ ÑÓÝÒÒÒ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ T ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒØØØÖÖØØÓÒ ÔÓÒÒÒÖÖÖ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò×ØØÒ¹
Ø Ò × Ù Ö Ö Ø Ø Ò ØØÖÚÚÐÐÐ ØØÑÔ׸ ×ÓÓØ < ˙
E >≡
1
T
T
0
˙
Edtº
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÒÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÙÒÒ ÓÖÑÑ
××ÑÑÐÐÐÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÒÒÖÖÖÖ× ÒÒØØÕÙÙ Ø ÔÓØØÒØØØÐÐк
½½¿
ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ÐÐ ØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ù ÖÖÙÙØ RLC ÓØØ ³ÙÒÒ
ØÙÒÒÒи Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒ¹
ÖÖ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÐÐÐÐÐ× Ò× ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ÓÓ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ (I
2
− ) ×Ø
ÔÓ××ØØÚº
º½º¾ ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÔ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
ººµ¸ ÐÐ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ØØÚ (I
2
− ) ÒÒÒ ×××ÒÒ ÔÓÙÖ I =
√
¸ ÕÙÙ ÒÒÒÕÙÙ
ÕÙÙ ÐÐ I ÖÖ×ØØ ÔÔØØظ гÓÖÖÖÖ
√
º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖÖÖ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
√
º ÄÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÐÐ ××ÖÖÖ ÔÔÙظ ÔÖÖÓÖÖ¸ ØÖÖ ØÖÓÒÕÙÙÙ
ÙÒ ÖØØØÒ ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÑÑÒØ Ù ×ÔÓ××ØØØ ×Ø ÐÓÖ× Ø
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº Ò× ÖÖÖÖÑѸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÐ ÚÖÖÖØ
ÚÚÚÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ØØÒØØÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×Ø ÐÐÑÑÒØ ÒÒØÙÖÖ Ó×××ÐÐÐÒØغ ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò×× ÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÕÙÙ×× ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓØØØ ρ¸ ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖº ËË ÓÓÜ
×ÓÐÙØØÓÒ ×³³ÚÚÖÖÖØ ÒÒÔÔÖÓÔÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ò ××ÖÖÓÒ× ÚÖØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒ¹
ÖÓÒØØØØÓÒ ÙÒÒ ÙÒÒ ØØÔÔ ÓÙ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ ØÝÔÔ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒظ ÓÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒÒ ÝÔÓØØØ×× ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ¹
ØØÚÚÑÑÒØ Ú ÐÐÐÐÐ ×× Ò³³ÔÔÔÖÖÖØ ÙÙÙÒÒ Ù ÓÙÖ× ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѸ ×Ø ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ÓÙÖÖÒØ Ø Ò Ô Ý××ÕÙÙ Ø ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒ ÔÖÓÓÓÓÓ ÐÐ
Ù×ØØØØØØØÓÒ × ÓÓÜ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò ×Ø ÑÑÒÒ ØÙÙÖ ÔÓÙÖ ÐÐÐÓÖÖÖ
ÙÒ ÑÓÓÓÐк ÊÊÊÊÊÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
I ρ sin(t) .
´´ººµ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ×× Ð³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ×××ÔÔÔ ÓÓØ
ØÖÖ ÒÙÐÐÐ Ò ÑÓÝÝÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒº ÓÑÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ E
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
E =
1
2
( ˙
I
2
+ I
2
) ,
´´ººµ
ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ØØÑÔÓÖÖÐÐРг³ÒÒÖÖÖÖ¸
׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ
˙
E =
1
2
(2 ˙
I ¨
I + 2I ˙
I) = ( − I
2
) ˙
I
2 ,
´´ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÐÐØغ ÄÄ ÑÓÝÒÒÒ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
×ÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓ T ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒØØØÖÖØØÓÒ ÔÓÒÒÒÖÖÖ ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò×ØØÒ¹
Ø Ò × Ù Ö Ö Ø Ø Ò ØØÖÚÚÐÐÐ ØØÑÔ׸ ×ÓÓØ < ˙
E >≡
1
T
T
0
˙
Edtº
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÒÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÙÒÒ ÓÖÑÑ
××ÑÑÐÐÐÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÒÒÖÖÖÖ× ÒÒØØÕÙÙ Ø ÔÓØØÒØØØÐÐк