½½¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
¨
I − R
1 − 3
α
R
I
2
˙
I + ω
2
0 I = 0 ,
´´ººµ
Ò ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ø ÒÒÖ ÐÐ
××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒظ ÖÖÖÖÖÖÓÒ× ÐÐ× ÙÒÒØØ× ØØÑÔ× Ø
ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѸ ×ÓÓØ 1/ω 0 ÔÓÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ØØÑÔ× Ø
ω 0 /3α ÔÓÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ØÙÓÒ× ÐÐ× ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ I
=
I
ω 0 /3α Ø t
=→ tω 0 ¸ Ó I
Ø t
×ÓÒØ Ø Ù Ü Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÒ׺ ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ Ø Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ׳³³ÖÖØ
ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
¨
I
− ( − I
2
) ˙
I
+ I
= 0 .
´´ººµ
Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ× I Ø t ´´Ù ÐÐÐÙ I
Ø t
Ò ³³ÚÚØØÖ ØÖÓÔ
ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÚÒ Ö ÈÓÐ
¨
I − ( − I
2
) ˙
I + I , = 0
´´ººµ
ÓÓ = R/ω 0 ×Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚ ´ Ö ¹
×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÒÒÒÒØØÚÚµ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÙÒÒ ÖÖ×××ØØÒÒÒ
ÒÒÒÒØØÚÚ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÔÓ××ØØÚÚµº
º½º½ ××Ù×××ÓÒ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÓÒÚÚÒ¹
ØØÓÒ¸ > 0 ÙÒÒ ÒØعÖÖ×××ØØÒÒÒ R < 0µ¸ Ø ÐÐÑÑØÓÒ×¹ÒÓÙ× Ù ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ − ˙
I ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙ³³ÒÒ¹
ØØØÐÐÑÑÒØ ÐÐ ×Ø ØÖÖ× ÐÐ ÒÓÙ× ÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚ¹
ÒØØ ¨
I − ˙
I + I = 0 ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ×Ø ÙÒ Ó×××ÐÐÐØÓÓÖÖ
ÓÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÈÓÙÖ × ØØÑÔ× ÓÙÖØ׸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ Ù ÓÙÖÖÒØ I ×Ø ÒÒÓÖÖ Ðи ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ
ÒÒÒÐÐÐк ÅÅÅ× ÔÓÙÖ × ØØÑÔ× ÔÐÙ× ÐÓÒÒ׸ ØØØ ××× ³³ØÖÖ ÚÐÐÐÐи Ø
ÒÓÙ× ÔÖÖÒÒÖÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ´−( − I
2
) ˙
Iµº Ò×
ÐÐ ÔÔÔ×× ÖÓÓ×××ÒØØ Ù ÓÙÖÖÒØ I¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ I
2
ÓÙØÖÖÔÔ××× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ð Ö Ú ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ
Ù ÓÙÖÖÒØ ˙
I ÔÓ××ØØØ ØØÖÑÑ ÓÙÙ ÓÒÒ ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒÒ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ
ÕÙÙ ÒØÖÖÖÒÒ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Iº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ I
2
ÚÚÚÒØ
ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ÖÓÓØ ÒÓÙÚÚÚÙ¸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ
ÁÐ Ý ÓÒÒ ÙÒ ÓÑÔÖÓÑÑ× ÒØÖÖ ÐÐ ØØÖÑÑ − ˙
I ÕÙÙ ØØÒÒ ÖÖ ÖÓÓØÖÖ I Ø ÐÐ
ØØÖÑÑ ÒØØØÓÒÒ×ØØ +I
2 ˙
I ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÙØÓ¹¹ÒØÖÖØØÒÙÙ Ù
ÓÙÖÖÒØ I¸ ÓÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
´ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖ×××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒ¹
ØØÓÒ ×××ÒÒ Ù ØØÙÖ I − I
2
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò×׸
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÚÒ Ö ÈÓи Ù ÒÓÑ Ð³³ÒÒÒÒÒÒÙÖ¹¹ÐÐÐØÖÓÒÒÒÒÒÒ Ø ÔÔÝ×××××Ò ÓÐÐÐÒÒÒÒ×
ÐØØØ××Ö ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´½½½½¹½½½½µ¸ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
ÖÖÚÒØ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×××ÔÔØØØ ÙÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù×ÙÙÐÐÐ
×Ø ¨
x − μ(1 − x 2 ) ˙
x + x = 0¸ Ó x ×Ø ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø μ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
×××ÐÐÐÖÖ ÖÖÚÒØ Ð ³ Ò ØØÒ××ØØ Ð³³ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
¨
I − R
1 − 3
α
R
I
2
˙
I + ω
2
0 I = 0 ,
´´ººµ
Ò ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ø ÒÒÖ ÐÐ
××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒظ ÖÖÖÖÖÖÓÒ× ÐÐ× ÙÒÒØØ× ØØÑÔ× Ø
ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѸ ×ÓÓØ 1/ω 0 ÔÓÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ØØÑÔ× Ø
ω 0 /3α ÔÓÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ØÙÓÒ× ÐÐ× ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ I
=
I
ω 0 /3α Ø t
=→ tω 0 ¸ Ó I
Ø t
×ÓÒØ Ø Ù Ü Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÒ׺ ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ Ø Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ׳³³ÖÖØ
ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
¨
I
− ( − I
2
) ˙
I
+ I
= 0 .
´´ººµ
Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ× I Ø t ´´Ù ÐÐÐÙ I
Ø t
Ò ³³ÚÚØØÖ ØÖÓÔ
ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÚÒ Ö ÈÓÐ
¨
I − ( − I
2
) ˙
I + I , = 0
´´ººµ
ÓÓ = R/ω 0 ×Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚ ´ Ö ¹
×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÒÒÒÒØØÚÚµ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÙÒÒ ÖÖ×××ØØÒÒÒ
ÒÒÒÒØØÚÚ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÔÓ××ØØÚÚµº
º½º½ ××Ù×××ÓÒ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÓÒÚÚÒ¹
ØØÓÒ¸ > 0 ÙÒÒ ÒØعÖÖ×××ØØÒÒÒ R < 0µ¸ Ø ÐÐÑÑØÓÒ×¹ÒÓÙ× Ù ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ − ˙
I ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙ³³ÒÒ¹
ØØØÐÐÑÑÒØ ÐÐ ×Ø ØÖÖ× ÐÐ ÒÓÙ× ÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚ¹
ÒØØ ¨
I − ˙
I + I = 0 ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ×Ø ÙÒ Ó×××ÐÐÐØÓÓÖÖ
ÓÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÈÓÙÖ × ØØÑÔ× ÓÙÖØ׸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ Ù ÓÙÖÖÒØ I ×Ø ÒÒÓÖÖ Ðи ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ
ÒÒÒÐÐÐк ÅÅÅ× ÔÓÙÖ × ØØÑÔ× ÔÐÙ× ÐÓÒÒ׸ ØØØ ××× ³³ØÖÖ ÚÐÐÐÐи Ø
ÒÓÙ× ÔÖÖÒÒÖÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ´−( − I
2
) ˙
Iµº Ò×
ÐÐ ÔÔÔ×× ÖÓÓ×××ÒØØ Ù ÓÙÖÖÒØ I¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ I
2
ÓÙØÖÖÔÔ××× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ð Ö Ú ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ
Ù ÓÙÖÖÒØ ˙
I ÔÓ××ØØØ ØØÖÑÑ ÓÙÙ ÓÒÒ ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒÒ ÖÖ×××ØØÒÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ
ÕÙÙ ÒØÖÖÖÒÒ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Iº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ I
2
ÚÚÚÒØ
ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I ÖÓÓØ ÒÓÙÚÚÚÙ¸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ
ÁÐ Ý ÓÒÒ ÙÒ ÓÑÔÖÓÑÑ× ÒØÖÖ ÐÐ ØØÖÑÑ − ˙
I ÕÙÙ ØØÒÒ ÖÖ ÖÓÓØÖÖ I Ø ÐÐ
ØØÖÑÑ ÒØØØÓÒÒ×ØØ +I
2 ˙
I ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÙØÓ¹¹ÒØÖÖØØÒÙÙ Ù
ÓÙÖÖÒØ I¸ ÓÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
´ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖ×××ÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒ¹
ØØÓÒ ×××ÒÒ Ù ØØÙÖ I − I
2
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò×׸
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÚÒ Ö ÈÓи Ù ÒÓÑ Ð³³ÒÒÒÒÒÒÙÖ¹¹ÐÐÐØÖÓÒÒÒÒÒÒ Ø ÔÔÝ×××××Ò ÓÐÐÐÒÒÒÒ×
ÐØØØ××Ö ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ´½½½½¹½½½½µ¸ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
ÖÖÚÒØ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×××ÔÔØØØ ÙÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù×ÙÙÐÐÐ
×Ø ¨
x − μ(1 − x 2 ) ˙
x + x = 0¸ Ó x ×Ø ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø μ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
×××ÐÐÐÖÖ ÖÖÚÒØ Ð ³ Ò ØØÒ××ØØ Ð³³ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº