º ÐÐ××××××ØØÓÒ × ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
½¼¼
ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÒÓÑÖÖ ×Ø Ð ÒÕ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÓÒÞÞ ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ Ù¹¹¹ÐÐ
ÒÕ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ð ØÖÖ× ÐÐ ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÑÖÖÖÖ
ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ Ø ÐÐ ØÝÔÔ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ØØØÒØØÓÒ ÒÒ ÔÔ× ×××ÑÑÐÐÖ ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÝ××ÕÙÙ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÒÒÒÖ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
Òظ Ò ÒÒÖÖи ÙÒÒ ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ù ×Ý×ØØÑÑ
ØÙÙÙÙº ÍÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØØØÐ ÔÔÙØ Ò×× ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÔÔÝ××ÕÙÙ× ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ÑÑÑ× Ùܹ¹¹ ÔÔÙÚÒØ Ø Ú ØÖÖ ÓÑÒÒ× Ò
ÙÒ ÔÐÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÒÓÑÑÖÖ× ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒº Ò×׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи
ÔÓÙÖ × ÙÙÙÙ× ÒÒÓÑÔÖÖ××××ÐÐ׸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÒØ ÒØØÖ¹
ÚÚÒÒÖ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½º¾µº Ò ÓÑÒÒÒØ ×
ÕÙÙØÖÖ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´×ÓÓØ R¸ ÐÐ ÖÖÝÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÑÑÐÐÐÙ¸ V 0 ÐÐ ÚÚØØ×××
ØÝÔÔÕÙÙ Ù ÙÙÙÙ¸ ρ¸ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÙÙÙÙ Ø η¸ ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ Ù Ù¹
µ¸ Ð ×ÙÙ×××ØØ ÙÒ ÙÒÒÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
ÊÊÝÒÓÐÐ× R e ¸ ÒÒ ÓÑÑÑ R e = ρRV 0 /ηº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÐÐ××× ÐÐ× ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ø Ù Ò Ó Ñ ÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ÒÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò ÓÙØÖÖ¸ Ø
³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ ØØØ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×³³×Ø ØØ ××Ò× ÖÖÖÖ ÐÐ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׸ Ø ××Ò× ÑÑÑÑ ××ÚÓÓÖ ×× × ÕÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ
ظ ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×Ø ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐк ÓÑÑÑ ÐÐ ×××Ø ÖÖÑÑÖ¹
ÕÙÙÖ ÊÊÒÒ ÌÌÓÑ ÕÙ³ÓÒ ÔÙÙ××× Ò×× ÖÖÖ ÙÒÒ ØØØÓÖÖÖ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ×× Ò
¸ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù ×ÙÙ×ØÖÖØ × ÓÖÑÑ× Ø
ÐÐ ÒÒØÙÖÖ × ÕÙÙ ÐÐ× ÚÓÓÐÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖÖ ××ÑÑÐÐÖ ÐÐ
×ÙÖØÓÙØ ÐÐ ÔÔÖØ ØÙÙ× ØØØÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÚÚÚ Ø
ÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ò ÐÙØØØ ÚÚ Ù Ò Ö ÕÙÙ ÐÐÙÖ ÖÖ×××Øغºº ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ØØØ
×× ØÖÓÙÚ Ò× ÐÐ ØÖÖÖØØ ÐÐ×××ÕÙÙ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ø ÓÖÑÑ× ´ØÖÖÖÙÙØØÓÒ
гÓÙÚÖÖÖÖ ÇÒ ÖÓÛØØ ÒÒ ÓÖѸ ÔÙÙÐÐÐ Ò ½½½½ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ×µ Ù
ÓÐÓÓÓ×ØعÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ËËÖ ³³ÖÖÝ ÏÒØÛÓÖØØ ÌÌÓÑÔ×ÓÒ ´½½½¼¹½½½½µ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ÊÊÒÒ ÌÌÓÑ ÔÓÙÖ×ÙÙØ ×× ÖÖÖÖÜÜÓÒ Ø ×³³ÒØØÖÖÓÓÓ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÚÙÙ Ù×××
ÒÒÖÐ ×ÓÙÐÐÚÚ ÙÒÒ ÚÚÚÚÒØØ ÓÓÓÓØØÓÒ ×׸ ÒÓØÖÖ ÔÓ×ØÙÐÐØ
ÐÐ× ××ÙÐÐ× ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ× ×ØØØÐÐ× ØÓÙØØ ÑÓÖÔÔÓÒÒ×× ×ÓÒØ ØØÖÑÑÒÒÒ×
ÔÖ ÐÐ ××ÙÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×Ô ÑÑÑÑÒظ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ØÓÙ× ÐÐ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÒÓØÖÖ ÑÓÒÒÒ ØÖÓÓ× ÑÑÒ××ÓÒ× Ò³ÓÒع¹Ð× Ô× ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓÖÔÔÓÐÓÓÓÓ ÈÓÙÖÕÙÓÓ
ÐÐ ÓÖÑÑ × ÒÙÙÙÙ× Ò³³×ع¹ÐÐÐ Ô× ÐÐÐ × ÑÓÒØØØÒÒ׸ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ÓÖÑÑ ×
ÖÖ×ØØÙÜ Ò³³×ع¹ÐÐÐ ÔÔ× ÐÐÐ × ØÖ× ÚÚÚÚÒØ× ü ÖÖÔÓÒÒÖ ÕÙÙ ÒÓØÖ
ÑÓÐÐ ÚÚ×× ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ×××××Ö ÐÐ× ÒØ× ÐÓÙÜ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÒÒ×׸
ÕÙ³ÓÒ ÔÔÐÐÐÖ ÅÅÅ× Ð³³ÔÔÔÖÒÒ ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙ ÐÓÓ¹
Ðи ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ××Ò× Ù×ÙÙÐ Ù ØØÖÑѸ ÔÖÓÚÚÚÒØ Ð³³³³ÖÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ÖÒÒ
ÒÓÑÑÖ × ÒØ× ÐÓÓÓÙÜ Ø ÐÐ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÐÓ ÐÐ×
ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐÙÖ ÔÔÔÖÖØØÓÒ Ù ÓÙÖ× ³ÙÒ ÔÖÓÓ××Ù× ÓÒÒÒ¸ ×ÓÒØ
ÔÖ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ØÓÔÓÐÓÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒØØÖÒÒººº ³³×Ø ÔÖ
ÐÐ ÖÖÖÖÖ××× ØÓÔÓÐÓÓÓÕÙÙ × ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÒØØÖÒÒ׸ ÐÐÙÖ ÖØØÖÖ ÔÐÙ× Ù ÑÓÓÒ×
ÒØØÖ¸ ÕÙ٠׳³ÜÔÐÐÕÙÙ ÒÒÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÚÚÖ××ØØ ÔÖÖ×ÕÙÙ ÒÒÒÒÒ × ÔÔÔÖÒÒ×
Ù ÑÓÒÒÒ ÜØØÖÖÖÙÖ¸ Ø ÔÔÙع¹ØÖÖ Ù××× ÐÐ ×ØØÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÒØÖ Ú Ø
½¼¼
ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÒÓÑÖÖ ×Ø Ð ÒÕ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÓÒÞÞ ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ Ù¹¹¹ÐÐ
ÒÕ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ð ØÖÖ× ÐÐ ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÑÖÖÖÖ
ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ Ø ÐÐ ØÝÔÔ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ØØØÒØØÓÒ ÒÒ ÔÔ× ×××ÑÑÐÐÖ ØÓÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÝ××ÕÙÙ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÒÒÒÖ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
Òظ Ò ÒÒÖÖи ÙÒÒ ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ù ×Ý×ØØÑÑ
ØÙÙÙÙº ÍÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØØØÐ ÔÔÙØ Ò×× ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÔÔÝ××ÕÙÙ× ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ÑÑÑ× Ùܹ¹¹ ÔÔÙÚÒØ Ø Ú ØÖÖ ÓÑÒÒ× Ò
ÙÒ ÔÐÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÒÓÑÑÖÖ× ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒº Ò×׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи
ÔÓÙÖ × ÙÙÙÙ× ÒÒÓÑÔÖÖ××××ÐÐ׸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÒØ ÒØØÖ¹
ÚÚÒÒÖ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½º¾µº Ò ÓÑÒÒÒØ ×
ÕÙÙØÖÖ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´×ÓÓØ R¸ ÐÐ ÖÖÝÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÑÑÐÐÐÙ¸ V 0 ÐÐ ÚÚØØ×××
ØÝÔÔÕÙÙ Ù ÙÙÙÙ¸ ρ¸ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÙÙÙÙ Ø η¸ ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ Ù Ù¹
µ¸ Ð ×ÙÙ×××ØØ ÙÒ ÙÒÒÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
ÊÊÝÒÓÐÐ× R e ¸ ÒÒ ÓÑÑÑ R e = ρRV 0 /ηº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÐÐ××× ÐÐ× ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ø Ù Ò Ó Ñ ÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ÒÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò ÓÙØÖÖ¸ Ø
³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ ØØØ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×³³×Ø ØØ ××Ò× ÖÖÖÖ ÐÐ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׸ Ø ××Ò× ÑÑÑÑ ××ÚÓÓÖ ×× × ÕÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ
ظ ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×Ø ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐк ÓÑÑÑ ÐÐ ×××Ø ÖÖÑÑÖ¹
ÕÙÙÖ ÊÊÒÒ ÌÌÓÑ ÕÙ³ÓÒ ÔÙÙ××× Ò×× ÖÖÖ ÙÒÒ ØØØÓÖÖÖ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ×× Ò
¸ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù ×ÙÙ×ØÖÖØ × ÓÖÑÑ× Ø
ÐÐ ÒÒØÙÖÖ × ÕÙÙ ÐÐ× ÚÓÓÐÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖÖ ××ÑÑÐÐÖ ÐÐ
×ÙÖØÓÙØ ÐÐ ÔÔÖØ ØÙÙ× ØØØÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÚÚÚ Ø
ÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ò ÐÙØØØ ÚÚ Ù Ò Ö ÕÙÙ ÐÐÙÖ ÖÖ×××Øغºº ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ØØØ
×× ØÖÓÙÚ Ò× ÐÐ ØÖÖÖØØ ÐÐ×××ÕÙÙ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ø ÓÖÑÑ× ´ØÖÖÖÙÙØØÓÒ
гÓÙÚÖÖÖÖ ÇÒ ÖÓÛØØ ÒÒ ÓÖѸ ÔÙÙÐÐÐ Ò ½½½½ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ×µ Ù
ÓÐÓÓÓ×ØعÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ËËÖ ³³ÖÖÝ ÏÒØÛÓÖØØ ÌÌÓÑÔ×ÓÒ ´½½½¼¹½½½½µ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ÊÊÒÒ ÌÌÓÑ ÔÓÙÖ×ÙÙØ ×× ÖÖÖÖÜÜÓÒ Ø ×³³ÒØØÖÖÓÓÓ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÚÙÙ Ù×××
ÒÒÖÐ ×ÓÙÐÐÚÚ ÙÒÒ ÚÚÚÚÒØØ ÓÓÓÓØØÓÒ ×׸ ÒÓØÖÖ ÔÓ×ØÙÐÐØ
ÐÐ× ××ÙÐÐ× ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ× ×ØØØÐÐ× ØÓÙØØ ÑÓÖÔÔÓÒÒ×× ×ÓÒØ ØØÖÑÑÒÒÒ×
ÔÖ ÐÐ ××ÙÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×Ô ÑÑÑÑÒظ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ØÓÙ× ÐÐ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÒÓØÖÖ ÑÓÒÒÒ ØÖÓÓ× ÑÑÒ××ÓÒ× Ò³ÓÒع¹Ð× Ô× ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓÖÔÔÓÐÓÓÓÓ ÈÓÙÖÕÙÓÓ
ÐÐ ÓÖÑÑ × ÒÙÙÙÙ× Ò³³×ع¹ÐÐÐ Ô× ÐÐÐ × ÑÓÒØØØÒÒ׸ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ÓÖÑÑ ×
ÖÖ×ØØÙÜ Ò³³×ع¹ÐÐÐ ÔÔ× ÐÐÐ × ØÖ× ÚÚÚÚÒØ× ü ÖÖÔÓÒÒÖ ÕÙÙ ÒÓØÖ
ÑÓÐÐ ÚÚ×× ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ×××××Ö ÐÐ× ÒØ× ÐÓÙÜ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÒÒ×׸
ÕÙ³ÓÒ ÔÔÐÐÐÖ ÅÅÅ× Ð³³ÔÔÔÖÒÒ ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙ ÐÓÓ¹
Ðи ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ××Ò× Ù×ÙÙÐ Ù ØØÖÑѸ ÔÖÓÚÚÚÒØ Ð³³³³ÖÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ÖÒÒ
ÒÓÑÑÖ × ÒØ× ÐÓÓÓÙÜ Ø ÐÐ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÐÓ ÐÐ×
ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐÙÖ ÔÔÔÖÖØØÓÒ Ù ÓÙÖ× ³ÙÒ ÔÖÓÓ××Ù× ÓÒÒÒ¸ ×ÓÒØ
ÔÖ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ØÓÔÓÐÓÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒØØÖÒÒººº ³³×Ø ÔÖ
ÐÐ ÖÖÖÖÖ××× ØÓÔÓÐÓÓÓÕÙÙ × ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÒØØÖÒÒ׸ ÐÐÙÖ ÖØØÖÖ ÔÐÙ× Ù ÑÓÓÒ×
ÒØØÖ¸ ÕÙ٠׳³ÜÔÐÐÕÙÙ ÒÒÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÚÚÖ××ØØ ÔÖÖ×ÕÙÙ ÒÒÒÒÒ × ÔÔÔÖÒÒ×
Ù ÑÓÒÒÒ ÜØØÖÖÖÙÖ¸ Ø ÔÔÙع¹ØÖÖ Ù××× ÐÐ ×ØØÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÒØÖ Ú Ø