ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³ÙÒÒ ×Ø 1º ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÓÒ××××ÖÖ¸ ××ÙÐ
ÙÒ ÓÓØ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ 1 ÔÔÙØ ÐÐ ÚÚ××Ö Ò ÙÜ ÖÖÖÖÓÒ× ×ØØÒÒØØ× Ò×׸
ÙÒ ×ÔÔÔÔ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÑÑÒ××ÓÒÒÒе ×Ø ÖÖÖØØÓÒÒÒ Ò
ÙÜ ÔÔÖØØØ× ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÔÔÖ ÙÒÒ Ø
ÙÒÒ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ××× Ò ÙÜ Ñѹ¹ÓÙÖÖÖ׺
× ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒÒ¸ ÖÖÚÒÓÒ× ÐÐ
ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ø ØØÖÑÑÒÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐ ÐÐ Ò× ÓÒ¹
ØØÜØغ ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÔÔ ÔÓÙÖ ÒØØØØÖ ÐÐ× ÐÐÐÙÜ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÒ×××ØØ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× A 0 ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÔÓÓÒØ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÖÖÚÚÚ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØР׳³ÒÒÙÐи V
= ∂V/∂A = F (A 0 , μ) = 0µ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ØØÔÔ
ÓÒ×××ØØ ÖÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ ÔÔÖÑÑ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÐ×
ÔÓÓÒØ× ÒÒÙÐÐÒØ ÐÐ× ÖÖÚ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× ´×××ÓÒÒÒ¸ ØÖÓÓ×××ÑѺººµ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÒÓÙ× ÖÖÖÖÖÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ μ ØØÐ×
V
n
(A 0 , μ) = ∂
n V/∂A
n
= 0¸ ÚÚÚ n = 2, 3... Ò×׸ ×× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ØØÐ ÕÙÙ
××ÙÐÐ ×× ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ ÔÔÙØ ×³³ÒÒÙÐÐÖ V
(A 0 , μ) = ∂
2 V/∂A
2
= 0¸ ÒÓÙ×
×ÔÓ×ÓÒ× ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒØ ÙÒ ÓÓØ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ½ Ø ÕÙÙ
ÜÜ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ³³×Ø ÐÐ × Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÖÖÖÖÖÖѹ
ÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙ V = A + A
3
¸ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ¸ ØØ
ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ½º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ººº Ð ÓÒØØØÒØ ÙÒ
ØØÖÑÑ Ò A
4
µ¸ ÒÓÙ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÚ× ×××¹
ÓÒÒÒ Ø ØÖÓÓ×××ÑÑ ´V
(A 0 , μ) = ∂
2 V/∂A
2
= 0 Ø V
(A 0 , μ) = ∂
3 V/∂A
3
= 0µ µ
ÐÐ ÒÒØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÖÓÒÒÒ ´Ù×Ôµ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ¾ ´´´ÙÜ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÔÓÙÖ ××ØØ××××ÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÙÜ ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× µº Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø Ò Ò ÙÐÐÖ ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ Ð × n ÔÖÖÑÑÑÖÖ× ÖÖÚ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÖÖÚÚÚÒØ ØØÖÑÑÒÒÖ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ n − 1¸ Ø Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ n − 1 ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
Ò×׸ ÐÐ ×Ø ÙÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ Ö ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐÑÑÒØ Ð Ò Ó Ñ ÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÒÒÙÙÖÖ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÓÒÒÒº
º¾ ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ Ø ÔÓÙÖ¹
×ÙÙÚÓÒ× ÐÐ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V гÓÖÖÖÖ ¸ ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚÐÐÒØظ
гÓÖÖÖÖ 3 ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ¸ × Ó Ø Ø F = + αA + βA
2
+ A
3
¸ ¸ ÚÚÚ ¸ α Ø β ØÖÓÓ×
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׺ ÄÄ ÓÖÑÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ×ØØØÐк ÄÄ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ F ´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V µ ÔÔÙØ ØÖÖ
ÐÐÑÑÒÒ ÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → A = A − β/3º Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F Ò ÖÖÖÖÖÒÒ×××ÒØ Ø Ò Ó Ù Ú ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ν Ø ÓÑÑÑ
F = ν + A + A
3
Ø ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ
˙
A = F = ν + A + A
3 .
´´º½¼µ
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÖÑÑÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ ØÙÙÙÙÙ Ù
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿º½º Ò ÓÔØØÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ÒÒÒÔÔÒ¹
³ÙÒÒ ×Ø 1º ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÓÒ××××ÖÖ¸ ××ÙÐ
ÙÒ ÓÓØ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ 1 ÔÔÙØ ÐÐ ÚÚ××Ö Ò ÙÜ ÖÖÖÖÓÒ× ×ØØÒÒØØ× Ò×׸
ÙÒ ×ÔÔÔÔ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÑÑÒ××ÓÒÒÒе ×Ø ÖÖÖØØÓÒÒÒ Ò
ÙÜ ÔÔÖØØØ× ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÔÔÖ ÙÒÒ Ø
ÙÒÒ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ××× Ò ÙÜ Ñѹ¹ÓÙÖÖÖ׺
× ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒÒ¸ ÖÖÚÒÓÒ× ÐÐ
ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ø ØØÖÑÑÒÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐ ÐÐ Ò× ÓÒ¹
ØØÜØغ ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÔÔ ÔÓÙÖ ÒØØØØÖ ÐÐ× ÐÐÐÙÜ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÒ×××ØØ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× A 0 ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÔÓÓÒØ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÖÖÚÚÚ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØР׳³ÒÒÙÐи V
= ∂V/∂A = F (A 0 , μ) = 0µ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ØØÔÔ
ÓÒ×××ØØ ÖÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ ÔÔÖÑÑ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÐ×
ÔÓÓÒØ× ÒÒÙÐÐÒØ ÐÐ× ÖÖÚ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× ´×××ÓÒÒÒ¸ ØÖÓÓ×××ÑѺººµ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÒÓÙ× ÖÖÖÖÖÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ μ ØØÐ×
V
n
(A 0 , μ) = ∂
n V/∂A
n
= 0¸ ÚÚÚ n = 2, 3... Ò×׸ ×× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ØØÐ ÕÙÙ
××ÙÐÐ ×× ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ ÔÔÙØ ×³³ÒÒÙÐÐÖ V
(A 0 , μ) = ∂
2 V/∂A
2
= 0¸ ÒÓÙ×
×ÔÓ×ÓÒ× ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒØ ÙÒ ÓÓØ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ½ Ø ÕÙÙ
ÜÜ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ³³×Ø ÐÐ × Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÖÖÖÖÖÖѹ
ÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙ V = A + A
3
¸ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ¸ ØØ
ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ½º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ººº Ð ÓÒØØØÒØ ÙÒ
ØØÖÑÑ Ò A
4
µ¸ ÒÓÙ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÚ× ×××¹
ÓÒÒÒ Ø ØÖÓÓ×××ÑÑ ´V
(A 0 , μ) = ∂
2 V/∂A
2
= 0 Ø V
(A 0 , μ) = ∂
3 V/∂A
3
= 0µ µ
ÐÐ ÒÒØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÖÓÒÒÒ ´Ù×Ôµ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ¾ ´´´ÙÜ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÔÓÙÖ ××ØØ××××ÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÙÜ ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× µº Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø Ò Ò ÙÐÐÖ ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ Ð × n ÔÖÖÑÑÑÖÖ× ÖÖÚ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÖÖÚÚÚÒØ ØØÖÑÑÒÒÖ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ n − 1¸ Ø Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ n − 1 ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
Ò×׸ ÐÐ ×Ø ÙÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ Ö ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐÑÑÒØ Ð Ò Ó Ñ ÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÒÒÙÙÖÖ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÓÒÒÒº
º¾ ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ Ø ÔÓÙÖ¹
×ÙÙÚÓÒ× ÐÐ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V гÓÖÖÖÖ ¸ ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚÐÐÒØظ
гÓÖÖÖÖ 3 ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ¸ × Ó Ø Ø F = + αA + βA
2
+ A
3
¸ ¸ ÚÚÚ ¸ α Ø β ØÖÓÓ×
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׺ ÄÄ ÓÖÑÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ×ØØØÐк ÄÄ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ F ´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V µ ÔÔÙØ ØÖÖ
ÐÐÑÑÒÒ ÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → A = A − β/3º Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F Ò ÖÖÖÖÖÒÒ×××ÒØ Ø Ò Ó Ù Ú ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ν Ø ÓÑÑÑ
F = ν + A + A
3
Ø ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ
˙
A = F = ν + A + A
3 .
´´º½¼µ
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÖÑÑÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ ØÙÙÙÙÙ Ù
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿º½º Ò ÓÔØØÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ÒÒÒÔÔÒ¹