º ÐÐ××××××ØØÓÒ × ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
¿
ÙÖÖ º¿ A ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÖØÙÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÑÖÖ
ÊÊÝÒÓÐÐ׸ Reº È ÓÙÖ Re < Rec ÐÐ ÑÓÙÚÑÑÒØ ×Ø ÐÐÑÑÒÒÒÖÖº ÈÓÙÖ Re > Rec ÐÐ ÑÓÙÚÚ¹
ÑÑÒØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ׸ ÓÒ×ØØØÙÙÒØ
ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐк
ÓÓ R ×Ø ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù ØÙÝÙ ´ÔÐÙ× ÐÐ ØØØÐÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÐÐ
ÓÑÑØÖÖÖ Ð³ÓÓØ ÓÓ ×³³³ÓÙÐÐ ÐÐ ÙÙÙÙµ¸ V 0 ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙ٠г³¹
ÓÙÐÐÑÑÒظ ρ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ¸ Ø η ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
Ù ÙÙÙÙº ËËËËËÒØ ÕÙÙ ×Ý×ØØÑÑ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒ ××ÙÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ÁÐ ×Ø ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÒÓÐÐ× R e ×××Þ ÔÔØØØ ´´ÓÒ¹
ØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ×× ÐÐ ÚÚØØ××× ×Ø ØÖÖ× Ðе¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÙÒÒÕÙÙ ×ØØØÐи ØØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ ´××Ò× ØÓÙÖÖÖÐÐÓÒµº Ù¹¹¹ÐÐ ³ÙÒÒ Ö¹
ØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ R e ¸ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÖÖ××ÒØØÒØ × ØÓÙÖÖÖÐÐÓÒ× ´ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖµ¸ гÙÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÙØÖÖ ×Ø
Ò×ØØØÐÐ ³³×Ø ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº
º½º¿ ÆÓØØÓÒ
ij³×ÔÔÔÔ Ù×ÙÙÐ ×Ø ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÑÑÒ××ÓÒ ØÖÓÓ× Ò× ÙÒ ×Ý×¹
ØØÑÑ ÖØØ×××ÒÒÒ׸ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒÒ ×ÔÔÔÖÖ ÖÖÝÓÒ R Ò×
Ø ×ÔÔÔÔ ×³³³ÖÖØ Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
º
ÈÐÙ× ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÓÓØ ÑÑÒ××ÓÒ ØÖÓÓ× ´´´´¸ ÐÐ ×ÔÔÔÖÖµ ×Ø
ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒº Ø Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ×ÔÔÔÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÙÒ ÓÓ¹
Ø ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´ÙÒÒ ÙÒÒ ÖÓÓØغººµ ÒÒÒÒ×××ØØ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò
Ø ÙÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÚÙÙ ÓÑÑÑ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ׸ ÙÒÒ
³³ÒØÖÖ ÐÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒº ÈÐÙ× ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒ ÓÓØ ×Ø Ð ÐÐ ÖÖÒÒÒ
ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÒÒ Ð³ÓÓظ Ø ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³ÓÓ¹
Ø ÐÙÙ¹ÑÑÑÑ ØØØ ÕÙÙÒØØØØ ×Ø ÔÔÔÐÐÐ Ò×׸ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ
3 ÑÑÒ××ÓÒ׸ ÐÐ ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ×Ø ÐÐ 1 Ø ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÓÙÖÖÖ
×Ø 2 Ò × Ù Ò Ò × Ô 2 ÑÑÒ××ÓÒ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒ ÔÐÐÒµ¸ ÐÐ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ
¿
ÙÖÖ º¿ A ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÖØÙÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÑÖÖ
ÊÊÝÒÓÐÐ׸ Reº È ÓÙÖ Re < Rec ÐÐ ÑÓÙÚÑÑÒØ ×Ø ÐÐÑÑÒÒÒÖÖº ÈÓÙÖ Re > Rec ÐÐ ÑÓÙÚÚ¹
ÑÑÒØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ׸ ÓÒ×ØØØÙÙÒØ
ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐк
ÓÓ R ×Ø ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù ØÙÝÙ ´ÔÐÙ× ÐÐ ØØØÐÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÐÐ
ÓÑÑØÖÖÖ Ð³ÓÓØ ÓÓ ×³³³ÓÙÐÐ ÐÐ ÙÙÙÙµ¸ V 0 ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙ٠г³¹
ÓÙÐÐÑÑÒظ ρ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ¸ Ø η ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
Ù ÙÙÙÙº ËËËËËÒØ ÕÙÙ ×Ý×ØØÑÑ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒ ××ÙÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ÁÐ ×Ø ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÒÓÐÐ× R e ×××Þ ÔÔØØØ ´´ÓÒ¹
ØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ×× ÐÐ ÚÚØØ××× ×Ø ØÖÖ× Ðе¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÙÒÒÕÙÙ ×ØØØÐи ØØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ ´××Ò× ØÓÙÖÖÖÐÐÓÒµº Ù¹¹¹ÐÐ ³ÙÒÒ Ö¹
ØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ R e ¸ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÖÖ××ÒØØÒØ × ØÓÙÖÖÖÐÐÓÒ× ´ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖµ¸ гÙÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÙØÖÖ ×Ø
Ò×ØØØÐÐ ³³×Ø ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº
º½º¿ ÆÓØØÓÒ
ij³×ÔÔÔÔ Ù×ÙÙÐ ×Ø ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÑÑÒ××ÓÒ ØÖÓÓ× Ò× ÙÒ ×Ý×¹
ØØÑÑ ÖØØ×××ÒÒÒ׸ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒÒ ×ÔÔÔÖÖ ÖÖÝÓÒ R Ò×
Ø ×ÔÔÔÔ ×³³³ÖÖØ Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
º
ÈÐÙ× ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÓÓØ ÑÑÒ××ÓÒ ØÖÓÓ× ´´´´¸ ÐÐ ×ÔÔÔÖÖµ ×Ø
ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÕÙÙØØÓÒº Ø Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ×ÔÔÔÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÙÒ ÓÓ¹
Ø ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´ÙÒÒ ÙÒÒ ÖÓÓØغººµ ÒÒÒÒ×××ØØ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò
Ø ÙÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÚÙÙ ÓÑÑÑ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ׸ ÙÒÒ
³³ÒØÖÖ ÐÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒº ÈÐÙ× ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒ ÓÓØ ×Ø Ð ÐÐ ÖÖÒÒÒ
ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÒÒ Ð³ÓÓظ Ø ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ð³ÓÓ¹
Ø ÐÙÙ¹ÑÑÑÑ ØØØ ÕÙÙÒØØØØ ×Ø ÔÔÔÐÐÐ Ò×׸ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ
3 ÑÑÒ××ÓÒ׸ ÐÐ ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ×Ø ÐÐ 1 Ø ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÓÙÖÖÖ
×Ø 2 Ò × Ù Ò Ò × Ô 2 ÑÑÒ××ÓÒ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒ ÔÐÐÒµ¸ ÐÐ ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ