¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
A
4
×Ø ÔÔØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ÒÒÒÒÑÓÓÒ׸ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÓÒØ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× A = 0¸ ×ÓÒ Ø ÔÓÙÖÖÖÖØ ××Ò×××Ðи
ÚÓÓÖÖ ÇÖ¸ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÓÖÖÖÖ ÙÜ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ººµ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØ× A = ±
√
− ´ÔÓÙÖ < 0¸
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ø Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖ¹
Ñ × × Ù Ô Ó Ø Ò ØØØÐ V = A + A
3
+ A
4
×ÓÒØ ³ÓÖÖÖÖ
3/2
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ A
4
×Ø ³ÓÖÖÖÖ
2
Ð ×Ø ÓÒÒ ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ ÚÚÒØ ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖÑÑ׸ ÕÙÙ
Ù×ØØØØ Ð³³ÝÔÓØØØ×× Ù ØØÖÑÑ Ò A
4
ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ Ù×ØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØغ
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖ ÚÖÖÖÖ
+ 3A
2
+ 4A
3
= 0 ;
´´ººµ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ A
3
ÔÔÙØ ÓÒÒ ÒÒÙÙÖÖ ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ´V
= 0µ¸ ÙØÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ A = ±
√
−¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ V
= 0 ´ÔÓÓÒØ Üܵ Ø
V
= 0 ´ÔÓÓÒØ ××ÒÒÙÐÐÐÖµº ÅÅÅ׸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ×××ÒØØØÐ Ù ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒظ
Ø ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓÓÒØ Üܸ ÚÚÖÖÖÖÒØ Ø Ó Ò V
= 0 ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ´´´ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 Ø V
= 0µº Ò
ظ г³³³³ ³ÙÒ ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ÔÓÙÖ
××ØØ××××ÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= V
= 0 Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ×
ÖÖÒØ׺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐÐÐÑÑÒØ Ù ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÒÙÙØ ÔÔÖ ÐÐ
ÔÖÖ××ÒÒÒ A
3
×ÓÓØ ØÖÖ× ÐÓÓÓÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ A =
√
ÔÖÓÓ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ´A = 0µ
ÓÓØØÒÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖº Ò ÚÚÐÓÔÔÔÒØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÙØÓÙÖ
ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ Ø Ð³³³³³ ³ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙظ ÐÐ
ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÖÖÑÑÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ò×׸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÒÓÙÚÙ ÙÒ ÔÓÓÒØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ
ÓÑÑÑ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖº ÆÓÙ× ÖÖÖÚÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ
×ÙÙÚÒØØ Ò ×ÔÓ××ÒØ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ
V = A + A
3
´´ººµ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÒÒÖÖÕÙÙº
ØÓÒ× ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÚÚÚ Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ð³³³Ù Ò× ÙÒ ØÙÝÙ
³³ÖÖÓ×××× ÙÜ ÔÔÖÓÓ× ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ÖÖÖÖÖÖ׺ ÄÄ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÒÒÓѹ
ÔÖÖ××××ÐÐ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ½½ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿½ Ø
ÐÐ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ÔÖÓÔÓ××ÒØ Ð ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
ÒÒÑÑÕÙÙµº ÄÄ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ³ÙÒ ØØÐ ÙÙÙÙ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ ÙÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÔÐÐ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÒÓÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ×
ÓÖÖÖ× ³³ÒÒÖØØØ ÙÜ ÓÖÖÖ× ÚÚ×ÕÙÙÙ×××
R e =
RV 0
ρη
´´ººµ
½½ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ׸ ÓÒØ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ×Ø ××ÙÙ × ÒÓÑ× Ù ÔÔÝ×××××Ò¹
ÒÒÒÒÒÒÙÖ ÖÖÒÒÒÒ× ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ÆÆÚÚÚÖ ´½½½½¹½½¿¿µ Ø Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖØØÒÒÒÕÙÙ ´½½½½¹½½¼¿µ
ËËÖ ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ËØÓÓÓ׸ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ∂∂ v/∂t+( v.∇) v = −∇P/ρ+η/ρ∇ 2 v¸ ¸ ÚÚÚ v ÐÐ ÚÚØØ×××
³ÙÒÒ ÔÔÖÖÖÐÐÐ ÙÙÙÙ Ò××ØØ ρ¸ ÔÖÖ×××ÓÒ P Ø ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
η¸ ∇ ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÓÖÖÖ× ÜØØÖÖÖÙÖÖ׸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÓ׸ ÓÒ ÖÖÖÓÙØØ
Ù ÑÑÑÑÖÖ ÖÓÓØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØغ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
A
4
×Ø ÔÔØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ÒÒÒÒÑÓÓÒ׸ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÓÒØ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× A = 0¸ ×ÓÒ Ø ÔÓÙÖÖÖÖØ ××Ò×××Ðи
ÚÓÓÖÖ ÇÖ¸ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÓÖÖÖÖ ÙÜ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ººµ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØ× A = ±
√
− ´ÔÓÙÖ < 0¸
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ø Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖ¹
Ñ × × Ù Ô Ó Ø Ò ØØØÐ V = A + A
3
+ A
4
×ÓÒØ ³ÓÖÖÖÖ
3/2
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ A
4
×Ø ³ÓÖÖÖÖ
2
Ð ×Ø ÓÒÒ ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ ÚÚÒØ ÐÐ× ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖÑÑ׸ ÕÙÙ
Ù×ØØØØ Ð³³ÝÔÓØØØ×× Ù ØØÖÑÑ Ò A
4
ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ Ù×ØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØغ
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ù ÑÓÓÓÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖ ÚÖÖÖÖ
+ 3A
2
+ 4A
3
= 0 ;
´´ººµ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ A
3
ÔÔÙØ ÓÒÒ ÒÒÙÙÖÖ ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ´V
= 0µ¸ ÙØÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ A = ±
√
−¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ V
= 0 ´ÔÓÓÒØ Üܵ Ø
V
= 0 ´ÔÓÓÒØ ××ÒÒÙÐÐÐÖµº ÅÅÅ׸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ×××ÒØØØÐ Ù ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒظ
Ø ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓÓÒØ Üܸ ÚÚÖÖÖÖÒØ Ø Ó Ò V
= 0 ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ´´´ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 Ø V
= 0µº Ò
ظ г³³³³ ³ÙÒ ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ÔÓÙÖ
××ØØ××××ÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= V
= 0 Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ×
ÖÖÒØ׺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐÐÐÑÑÒØ Ù ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÒÒÙÙØ ÔÔÖ ÐÐ
ÔÖÖ××ÒÒÒ A
3
×ÓÓØ ØÖÖ× ÐÓÓÓÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ A =
√
ÔÖÓÓ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ´A = 0µ
ÓÓØØÒÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖº Ò ÚÚÐÓÔÔÔÒØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÙØÓÙÖ
ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ Ø Ð³³³³³ ³ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙظ ÐÐ
ÒÓÙÚÙ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÖÖÑÑÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ò×׸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÒÓÙÚÙ ÙÒ ÔÓÓÒØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ
ÓÑÑÑ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖº ÆÓÙ× ÖÖÖÚÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ
×ÙÙÚÒØØ Ò ×ÔÓ××ÒØ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ
V = A + A
3
´´ººµ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÒÒÖÖÕÙÙº
ØÓÒ× ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÚÚÚ Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ð³³³Ù Ò× ÙÒ ØÙÝÙ
³³ÖÖÓ×××× ÙÜ ÔÔÖÓÓ× ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ÖÖÖÖÖÖ׺ ÄÄ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÒÒÓѹ
ÔÖÖ××××ÐÐ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ½½ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿½ Ø
ÐÐ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ÔÖÓÔÓ××ÒØ Ð ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
ÒÒÑÑÕÙÙµº ÄÄ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ³ÙÒ ØØÐ ÙÙÙÙ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ ÙÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÔÐÐ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÒÓÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ×
ÓÖÖÖ× ³³ÒÒÖØØØ ÙÜ ÓÖÖÖ× ÚÚ×ÕÙÙÙ×××
R e =
RV 0
ρη
´´ººµ
½½ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ׸ ÓÒØ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ×Ø ××ÙÙ × ÒÓÑ× Ù ÔÔÝ×××××Ò¹
ÒÒÒÒÒÒÙÖ ÖÖÒÒÒÒ× ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ÆÆÚÚÚÖ ´½½½½¹½½¿¿µ Ø Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖØØÒÒÒÕÙÙ ´½½½½¹½½¼¿µ
ËËÖ ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ËØÓÓÓ׸ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ∂∂ v/∂t+( v.∇) v = −∇P/ρ+η/ρ∇ 2 v¸ ¸ ÚÚÚ v ÐÐ ÚÚØØ×××
³ÙÒÒ ÔÔÖÖÖÐÐÐ ÙÙÙÙ Ò××ØØ ρ¸ ÔÖÖ×××ÓÒ P Ø ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
η¸ ∇ ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÓÖÖÖ× ÜØØÖÖÖÙÖÖ׸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÓ׸ ÓÒ ÖÖÖÓÙØØ
Ù ÑÑÑÑÖÖ ÖÓÓØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØغ