º ÐÐ××××××ØØÓÒ × ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
½
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÐÐ
×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº½µº
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V = A
3
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A = 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µº
Ò ÐÙÙ ÖÖÖÓÙØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÝÔÔ A ´´ÓÓ××××ÓÒ×
ÔÔØØØ Ø ÒÒÒÒØØص¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙÐÐØØØØÚ ÖÖÒØ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µ ÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÜ ÜØÖÖÑÑ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ø ÙÒ ÑÑÒÒÑÙѺ Ò
ÖÖÚ ÔÐÙ× ÙÒ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ νA
2
´´ÚÚÚ ν ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V Ò³³ÒÒÙÙØ ÔÔ× ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ Ò Ø¸ ××
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÓÖÑÑ
V = A
3
+ νA
2
+ A,
´´ººµ
ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ ÖÖÖÖ Ù ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ˜
A =
B −ν/3º Ò ØØÖÑÑ× ÐÐ ÒÓÙÚÐÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ B¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÓÒØØØÒØ × ØØÖÑÑ×
Ò B
3
¸ B Ø ÙÒÒ ´××Ò× ÓÒÒ¸ ³³×Ø Ò Ð³³³³³ØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ −A ÕÙÙ ÖÖÚÐÐ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØÐ ××ÒÒÙÐÐÐÖ
V (A) ∼ A
3
ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ
A
3
º ³³×Ø ÓÑÑÑ ×× Ð³³ÓÙØ ³ÙÒÒ ÒÒÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÚØ ÔÐÓÝ Ð
×ØÖÙÙØÙÖÖ ´ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑѵ Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØÐ A
3
Ø × ÐÐÐÐ ØØØ
ÙÒÒÓÐÐÐÒÒ ÓÓ ÙÙ ØÓ ÖÚÚÐ ÓÛÛÖ ×××Ø ÌÌÑÓØØÝ ËËÙÒÒÒÖ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
µ Ò× ×ÓÒ ÐÐÚÖÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ´´ÓÑÔÔÖÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ Ù ÔÐÓÓÓÑÑÒظ ÐÐ× ÙÜ ÙÖÖ× º¾¾ Ø º¾¾µº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ A
3
+ A
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÙÒÒÚÚÖ××Ð ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
3
º ÄÄ ÑÓØ ÙÒÒÚÖ××Ð ××
ÖÖÖÖÖÖ Ù Ø ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ ³ÓÖÖÖÖ ¿¸ ³³×Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ
ÐÐ ÔÐÙ× ÓÒÒÒ×× ´´ÔÖÖ× ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ A
2
г³³³³ Ù ÒÒÒÑÑÒØ ÚÖÖÖÖÐÐ
ÒØÖÓÓÙÙØ ¹¹¹××Ù×µ µØ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐк
º½º¾ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ×
Øعع¹Ð ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ
Ò ×³³ÒØØÖÖ×××ÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ù ÑÑÑÑ ÑÓÓÓÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÔÓ××ÒØ ³ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ¸ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = A + A
3
ÙÒ ØØÖÑÑ
Ò A
4
ÐÐ ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = A+A
3
+A
4
Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺
ÌÓÙØ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ× × ØØÖÑÑ× Ò A
3
Ø A
4
Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ Ò³³ÒÒÐÙÙÒØ ÔÔ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÐÐ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ Ð³³ÝÔÓØØØ××
г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ ½¼ º
ÚÒØ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ¸ ÔÓ×ÓÒ×¹ÒÓÙ× ÐÐ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ ³³³ÓÙØØÖ
ÙÒ ØØÖÑÑ Ò A
4
¸ ÔÖÖÓÖÖ ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ ÙÒ ØØÖÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØظ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÓÙÖ
ØÙÙÖ ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ò ØØÖÑÑÒÒÖ ÙÒ ÚÚÒØÙÙÐ
ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ A = 0¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
³³×Ø ÓÑÑÑ ÐÐ ³ÙÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÚÚÐÐ ÐÐ ÙÖº
½¼ ÅÅÑÑ Ò ÑÑØØØÒØ Ð ³ ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A 3 ÔÓÙÖ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙй
ÓÒÕÙÙ ¸ g()¸ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ V ×Ø ÒÒ ÔÔÖ V = A + gA 3 = g((/g)A + A 3 )º ü г³³³³ ³ÙÒÒ
××ÑÔÐÐ ÖÖÖÖÖÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ → /g Ø Ù ÔÓØØÒØØØÐ V → V /g¸ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ ÖÖØÖÓÙÚ Ð
ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÒÒØØØÐÐ V (A) = A + A 3 º
½
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÐÐ
×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº½µº
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V = A
3
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A = 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µº
Ò ÐÙÙ ÖÖÖÓÙØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÝÔÔ A ´´ÓÓ××××ÓÒ×
ÔÔØØØ Ø ÒÒÒÒØØص¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙÐÐØØØØÚ ÖÖÒØ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µ ÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÜ ÜØÖÖÑÑ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ø ÙÒ ÑÑÒÒÑÙѺ Ò
ÖÖÚ ÔÐÙ× ÙÒ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ νA
2
´´ÚÚÚ ν ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V Ò³³ÒÒÙÙØ ÔÔ× ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ Ò Ø¸ ××
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÓÖÑÑ
V = A
3
+ νA
2
+ A,
´´ººµ
ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ ÖÖÖÖ Ù ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ˜
A =
B −ν/3º Ò ØØÖÑÑ× ÐÐ ÒÓÙÚÐÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ B¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ÓÒØØØÒØ × ØØÖÑÑ×
Ò B
3
¸ B Ø ÙÒÒ ´××Ò× ÓÒÒ¸ ³³×Ø Ò Ð³³³³³ØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ −A ÕÙÙ ÖÖÚÐÐ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØÐ ××ÒÒÙÐÐÐÖ
V (A) ∼ A
3
ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ
A
3
º ³³×Ø ÓÑÑÑ ×× Ð³³ÓÙØ ³ÙÒÒ ÒÒÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÚØ ÔÐÓÝ Ð
×ØÖÙÙØÙÖÖ ´ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑѵ Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØÐ A
3
Ø × ÐÐÐÐ ØØØ
ÙÒÒÓÐÐÐÒÒ ÓÓ ÙÙ ØÓ ÖÚÚÐ ÓÛÛÖ ×××Ø ÌÌÑÓØØÝ ËËÙÒÒÒÖ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
µ Ò× ×ÓÒ ÐÐÚÖÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ´´ÓÑÔÔÖÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ Ù ÔÐÓÓÓÑÑÒظ ÐÐ× ÙÜ ÙÖÖ× º¾¾ Ø º¾¾µº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ A
3
+ A
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÙÒÒÚÚÖ××Ð ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
3
º ÄÄ ÑÓØ ÙÒÒÚÖ××Ð ××
ÖÖÖÖÖÖ Ù Ø ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ ³ÓÖÖÖÖ ¿¸ ³³×Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ
ÐÐ ÔÐÙ× ÓÒÒÒ×× ´´ÔÖÖ× ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ A
2
г³³³³ Ù ÒÒÒÑÑÒØ ÚÖÖÖÖÐÐ
ÒØÖÓÓÙÙØ ¹¹¹××Ù×µ µØ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐк
º½º¾ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ×
Øعع¹Ð ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ
Ò ×³³ÒØØÖÖ×××ÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ù ÑÑÑÑ ÑÓÓÓÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÔÓ××ÒØ ³ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ¸ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = A + A
3
ÙÒ ØØÖÑÑ
Ò A
4
ÐÐ ÒÓÙÚÚÚÙ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = A+A
3
+A
4
Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺
ÌÓÙØ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ× × ØØÖÑÑ× Ò A
3
Ø A
4
Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ Ò³³ÒÒÐÙÙÒØ ÔÔ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÐÐ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ Ð³³ÝÔÓØØØ××
г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ ½¼ º
ÚÒØ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ¸ ÔÓ×ÓÒ×¹ÒÓÙ× ÐÐ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ ³³³ÓÙØØÖ
ÙÒ ØØÖÑÑ Ò A
4
¸ ÔÖÖÓÖÖ ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ ÙÒ ØØÖÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØظ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÔÓÙÖ
ØÙÙÖ ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ò ØØÖÑÑÒÒÖ ÙÒ ÚÚÒØÙÙÐ
ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ A = 0¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
³³×Ø ÓÑÑÑ ÐÐ ³ÙÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÚÚÐÐ ÐÐ ÙÖº
½¼ ÅÅÑÑ Ò ÑÑØØØÒØ Ð ³ ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A 3 ÔÓÙÖ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙй
ÓÒÕÙÙ ¸ g()¸ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ V ×Ø ÒÒ ÔÔÖ V = A + gA 3 = g((/g)A + A 3 )º ü г³³³³ ³ÙÒÒ
××ÑÔÐÐ ÖÖÖÖÖÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ → /g Ø Ù ÔÓØØÒØØØÐ V → V /g¸ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ ÖÖØÖÓÙÚ Ð
ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÒÒØØØÐÐ V (A) = A + A 3 º