º ÐÐ××××××ØØÓÒ × ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
ÒØ× ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ u Ø v Ù×ÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸
ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø
V = vA + uA
2
+ A
4 .
´´º½½µ
Ù ÔÓÓÒØ ÚÙÙ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ Ô¹
ÔÔÖØØØÒØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÖÓÒÒÒ ´´´ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ôµ¸ ÐÐ
Ò Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒغ
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸
ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ ÓÓØØÒÙ× ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ
˙
A = −∂V/∂A = v + 2uA + 4A
3
= 0.
´´º½¾µ
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ÐÐ ÒÓÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ ×ÓÒ ×¹
ÖÖÑÑÒÒÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
Δ = 8u
3
+ 27v
2 .
´´º½¿µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØظ г³ÕÙÙØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½¾µ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ××ÖÖÑÑÒØ Ø × Ø ÒÒÒÒØØظ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ½½µº ÄÄ ÒÓÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔ×××
ÓÒÒ ÖÙØØÐÐÑÑÒØ ÙÒ ØÖÓÓ× Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ Ù
××ÖÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ ÓÒ×ØØØÙÙ Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô ½¾ º ÄÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ××ÖÖÑÑÒÒÒØ Ø × Ø Ò Ùи ÙÜ × ÙÖÖ× ×× ÔÖÖ××ÒØØÒØ ´½µ Ù ÑÓÓÒ× Ð³ÙÒ ×
ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×Ø ÒÓÒ ÒÙÐ ´u = 0 ÓÙ v = 0µ¸ ÐÓÖ× ÙÜ × ØÖÓÓ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ´¾µ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ Ò ÙÐ× ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ ´ u = v = 0µ¸ ÐÓÖ× ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÓÒÒÒÒÒÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÔÓÓÒØ
ÓÖÖÖÖÒÒ ×Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÖÖÖÖÓÙ×××ÑÑÒظ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÙÒÒ ×ÓÖØØ ÖÓÒÒÒ ´´´ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ôµ¸ ÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ
ØØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔº ij³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ
ÔÐÓÓÓÑÑÒØ Ù Ò Ú Ö××Ð ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
4
´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ º½º½
Ú ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³ÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØصº ÓÑÑÑ Ð ×³³³³Ø ³ÙÒÒ
ÓÙÙÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ × ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ Ø ØÖÓÓ×××ÑÑ× ÒÙÐÐÐ× Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ´V
= 0 Ø V
= 0µ¸ ÒÓÙ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ØØÖ¹
ÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ¸ ÔÔÖ ÐÐ Ó¹¹¹ÑÑÒ××ÓÒ ØØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø
ÐÐ ¾º ÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ ÔÔÖÑÑØ
ÜÜÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ A(u, v) Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
u Ø v ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÙÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ××ÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ
ÔÔÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ A Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ (A, u, v)µº ÍÒÒ ØØØ ×ÙÖÖÖÖÖ
Ú Ð³³ÜÜ v = v 0 ¸ ÓÓ v 0 ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØظ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐ ÓÙÔÔ
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØظ ÔÔÔÖØØÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ÑÑÐÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
Ö Ó Ò º
½¾ Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ò ÒÒÙÐÐÒØ × Ñ ÙÐØØÒÒÑÑÒØ
ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ø Ò ÐÐÑÑÒÒÒØ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ A ÐÐ× ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µº
ÒØ× ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ u Ø v Ù×ÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸
ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø
V = vA + uA
2
+ A
4 .
´´º½½µ
Ù ÔÓÓÒØ ÚÙÙ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ Ô¹
ÔÔÖØØØÒØ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÝÔÔ ÖÓÒÒÒ ´´´ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ôµ¸ ÐÐ
Ò Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒغ
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸
ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ ÓÓØØÒÙ× ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ
˙
A = −∂V/∂A = v + 2uA + 4A
3
= 0.
´´º½¾µ
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ÐÐ ÒÓÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ ×ÓÒ ×¹
ÖÖÑÑÒÒÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
Δ = 8u
3
+ 27v
2 .
´´º½¿µ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØظ г³ÕÙÙØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º½¾µ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ××ÖÖÑÑÒØ Ø × Ø ÒÒÒÒØØظ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ½½µº ÄÄ ÒÓÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔ×××
ÓÒÒ ÖÙØØÐÐÑÑÒØ ÙÒ ØÖÓÓ× Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ Ù
××ÖÖÑÑÒÒÒØ Ò ÙÐ ÓÒ×ØØØÙÙ Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô ½¾ º ÄÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ××ÖÖÑÑÒÒÒØ Ø × Ø Ò Ùи ÙÜ × ÙÖÖ× ×× ÔÖÖ××ÒØØÒØ ´½µ Ù ÑÓÓÒ× Ð³ÙÒ ×
ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×Ø ÒÓÒ ÒÙÐ ´u = 0 ÓÙ v = 0µ¸ ÐÓÖ× ÙÜ × ØÖÓÓ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ´¾µ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ Ò ÙÐ× ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ ´ u = v = 0µ¸ ÐÓÖ× ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÓÒÒÒÒÒÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÔÓÓÒØ
ÓÖÖÖÖÒÒ ×Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÖÖÖÖÓÙ×××ÑÑÒظ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÙÒÒ ×ÓÖØØ ÖÓÒÒÒ ´´´ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ôµ¸ ÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ
ØØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔº ij³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ
ÔÐÓÓÓÑÑÒØ Ù Ò Ú Ö××Ð ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
4
´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ º½º½
Ú ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³ÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØصº ÓÑÑÑ Ð ×³³³³Ø ³ÙÒÒ
ÓÙÙÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ × ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ Ø ØÖÓÓ×××ÑÑ× ÒÙÐÐÐ× Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ´V
= 0 Ø V
= 0µ¸ ÒÓÙ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ØØÖ¹
ÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ¸ ÔÔÖ ÐÐ Ó¹¹¹ÑÑÒ××ÓÒ ØØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø
ÐÐ ¾º ÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ ÔÔÖÑÑØ
ÜÜÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ A(u, v) Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
u Ø v ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÙÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ××ÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ
ÔÔÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ A Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ (A, u, v)µº ÍÒÒ ØØØ ×ÙÖÖÖÖÖ
Ú Ð³³ÜÜ v = v 0 ¸ ÓÓ v 0 ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØظ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐ ÓÙÔÔ
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÑÔÔÖÖÖÖØظ ÔÔÔÖØØÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ÑÑÐÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
Ö Ó Ò º
½¾ Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ò ÒÒÙÐÐÒØ × Ñ ÙÐØØÒÒÑÑÒØ
ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ø Ò ÐÐÑÑÒÒÒØ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ A ÐÐ× ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µº