ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÓ V ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØи F ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ¿ º º Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
A Ø {μ} г³Ò××ÑÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ÑÑØØØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò A = 0¸ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×׸
ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÔÔÖ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò
ÖÖÔÓÒ×× ÙÒÒ ÚÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ä³³ÝÔÓØØØ×× ³³ÒÒÐÝØØØØØØ
ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ×× Ù×ØØØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÓÜ ³³³³ÖØØÖ ÔÖÖÓÖÖ ØÓÙØØ× ÓÒÒØØÓÒ×
××ÒÒÙÐÐÐÖÖ× ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×ÓÙÖÖÖ× ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ù ÑÓÓÓÐÐ
×Ý×ØØÑѺ Ò ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ F ÒÒÐÝØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÒÒØØØÐ ÒÒ ÓÒØØØÒØ
ÙÙÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ØÔÔÔÖÖÒØظ Ø ÔÓÙÖØØÒظ ÖÖÖÙÐÐÐÖ¸ ÚÓÒØ ÒÒÒØÖÖ ×
××ÒÒÙÐÐÖÖØØ׺
ÈÓÙÖ ÚÐÙÙÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÚÒØÙÙÐÐÐ ³ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸
Ú ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F гÓÖÖÖÖ ÙÜ Ò A ØØØ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÑÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ´´Ò A
3
µ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØк
º½ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ÓÙ ÔÓÓÒØ ØÓÙÖÒÒÒØ
Ò Ú Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ гÓÖÖÖÖ
Ùܸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× F = + αA + βA
2
= β(/β + (α/β)A + A
2
)¸ × Ó Ø Ø Ò Ó Ö
F β = (/β + (α/β)A + A
2
)º
Ò ÖÖÖÖÖÒÒ×××ÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ØØÐÐÐ ÕÙÙ F/β → F Ò×× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
Ø α /β → Ø α/β → α¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
F = ( + αA + A
2
),
´´º¾µ
ÓÓ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø α ×ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ× ÙÜ ××ÙÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ×
Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ F ×Ø ÙÒÒ ÓÖÑÑ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ
×ØØØÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØк Ò Ø¸ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ
º¾µ¸ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ Ò A¸ ¸ ÚÚÚ × ÒÓØØ× ν i ¸ ¸ Ö ¹
ØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø
F = + αA + A
2
+ ν 0 + ν 1 A + ν 2 A
2
= ( + ν 0 ) + (α + ν 1 )A + (1 + ν 2 )A
2 . ´´º¿µ
ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÕÙÙÚÐÐÒØØ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØ ×
××Ò× ÐÐ ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´F = −∂V/∂Aµº ÈÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓØÓÒ× Ù××× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò A Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ F ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ×Ø ××Ò× ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ ÑÓÝÒÒÒÒØ
¿ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Aº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò A = 0 ÔÓÙÖ ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ø ÓÑÔÔÔØØÖ
г³³ÖÖØÙÖÖ × ÙÐØØÖÖÖÙÖ× F Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ A¸ ××Ò× ØØÖ ÔÓÙÖ ÙØØÒØ Ð ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ØÓÙØ Ù××× Ò ÓÔØØÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÒÒÒ
A 0 Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÐÓÖ× ØÙÙ ÐÐ× ÐÐÑÑØØ× ÙØÓÙÖ
ØØØ ÚÚÐÐÙÖ A 0 º
ÁÒÒÒÒÒÖÖÑÑÑÒØ ÒÓÑÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÓÙ ÔÓÓÒØ Ø Ü º
ËÙÔÔÖÔÓ××Ö F ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ ³ÓÖÖÖÖ ÐÐÚ Ò ÒÒÒÖÖÖØ ÖÖÖÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØظ ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ º½º¾º
ÓÓ V ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØи F ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ¿ º º Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
A Ø {μ} г³Ò××ÑÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ÑÑØØØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò A = 0¸ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×׸
ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÔÔÖ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò
ÖÖÔÓÒ×× ÙÒÒ ÚÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ä³³ÝÔÓØØØ×× ³³ÒÒÐÝØØØØØØ
ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ×× Ù×ØØØØ ÔÔÖ ÐÐ ÓÓÜ ³³³³ÖØØÖ ÔÖÖÓÖÖ ØÓÙØØ× ÓÒÒØØÓÒ×
××ÒÒÙÐÐÐÖÖ× ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×ÓÙÖÖÖ× ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ù ÑÓÓÓÐÐ
×Ý×ØØÑѺ Ò ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ F ÒÒÐÝØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÒÒØØØÐ ÒÒ ÓÒØØØÒØ
ÙÙÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ØÔÔÔÖÖÒØظ Ø ÔÓÙÖØØÒظ ÖÖÖÙÐÐÐÖ¸ ÚÓÒØ ÒÒÒØÖÖ ×
××ÒÒÙÐÐÖÖØØ׺
ÈÓÙÖ ÚÐÙÙÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÚÒØÙÙÐÐÐ ³ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸
Ú ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F гÓÖÖÖÖ ÙÜ Ò A ØØØ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÑÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ´´Ò A
3
µ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØк
º½ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÐÐ ÓÙ ÔÓÓÒØ ØÓÙÖÒÒÒØ
Ò Ú Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ гÓÖÖÖÖ
Ùܸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× F = + αA + βA
2
= β(/β + (α/β)A + A
2
)¸ × Ó Ø Ø Ò Ó Ö
F β = (/β + (α/β)A + A
2
)º
Ò ÖÖÖÖÖÒÒ×××ÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ØØÐÐÐ ÕÙÙ F/β → F Ò×× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
Ø α /β → Ø α/β → α¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
F = ( + αA + A
2
),
´´º¾µ
ÓÓ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø α ×ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ× ÙÜ ××ÙÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ×
Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ F ×Ø ÙÒÒ ÓÖÑÑ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ
×ØØØÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØк Ò Ø¸ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ
º¾µ¸ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ Ò A¸ ¸ ÚÚÚ × ÒÓØØ× ν i ¸ ¸ Ö ¹
ØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø
F = + αA + A
2
+ ν 0 + ν 1 A + ν 2 A
2
= ( + ν 0 ) + (α + ν 1 )A + (1 + ν 2 )A
2 . ´´º¿µ
ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÕÙÙÚÐÐÒØØ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØ ×
××Ò× ÐÐ ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´F = −∂V/∂Aµº ÈÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓØÓÒ× Ù××× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò A Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ F ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ ×Ø ××Ò× ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ ÑÓÝÒÒÒÒØ
¿ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Aº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò A = 0 ÔÓÙÖ ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ø ÓÑÔÔÔØØÖ
г³³ÖÖØÙÖÖ × ÙÐØØÖÖÖÙÖ× F Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ A¸ ××Ò× ØØÖ ÔÓÙÖ ÙØØÒØ Ð ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ØÓÙØ Ù××× Ò ÓÔØØÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÒÒÒ
A 0 Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÐÓÖ× ØÙÙ ÐÐ× ÐÐÑÑØØ× ÙØÓÙÖ
ØØØ ÚÚÐÐÙÖ A 0 º
ÁÒÒÒÒÒÖÖÑÑÑÒØ ÒÓÑÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÓÙ ÔÓÓÒØ Ø Ü º
ËÙÔÔÖÔÓ××Ö F ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑÑ ³ÓÖÖÖÖ ÐÐÚ Ò ÒÒÒÖÖÖØ ÖÖÖÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØظ ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ º½º¾º