Calcul de la surface S de la calotte sphe ´rique :
On conside `re une surface e ´le ´mentaire dS de ´limite ´e sur la
sphe `re par le demi-angle au sommet a et d’e ´paisseur Rda
(avec 0 a y)
Le rayon de cette couronne est r = R sin a. On a donc :
dS ¼ 2prR da ¼ 2pR
2 sin a da
On obtient la surface S de la calotte par inte ´gration :
S ¼ 2pR
2
ð y
0
sin a da ¼ 2pR
2
½cos aŠ
y
0 ¼ 2pR
2
ð1 À cos yÞ
Expression de l’angle solide : O ¼ S=R
2
¼ 2pð1 À cos yÞ
Remarque : y ¼ p correspond a ` la sphe `re entie `re. On a donc :
Espace entier : Angle solide pour y ¼ p : O espace ¼ 4p
1 / 2 espace : Angle solide pour y ¼ p=2 : O 1=2espace ¼ 2p
Remarque :
Dans le cas ou ` la surface ferme ´e correspond a ` une sphe `re de rayon r
centre ´e sur la charge le calcul du flux est simple a ` effectuer. En effet
cette surface sphe ´rique est une surface e ´quipotentielle et le champ
e ´lectrostatique radial est perpendiculaire a ` la surface en chaque point
de la sphe `re. On a :
dF ¼ ~ EðMÞd ~ S ¼ EðrÞ~ u OM :~ u OM dS ¼
Q
4pe o
dS
r 2
Ce qui donne par inte ´gration :
F ¼
þ
sph ere
dF ¼
þ
sph ere
Q
4pe o
dS
r 2 ¼
Q
4pe o r 2
þ
sph ere
dS ¼
Q
4pe o r 2 4pr
2
¼
Q
e o
ä Flux a ` travers une surface S ferme ´e : la charge Q est a ` l’exte ´rieur
On constate alors que les lignes de champ e ´lectrostatique formant un
co ˆne e ´le ´mentaire issu de la charge Q traverse un nombre pair de fois la
surface ferme ´e (le flux du champ entre autant de fois qu’il ressort de la
surface) (voir figure 3.10). Le flux e ´le ´mentaire e ´tant proportionnel a `
l’angle solide e ´le ´mentaire, on constate que les flux entrant et sortant
correspondant au me ˆme angle solide dO s’opposent : ils s’annulent
donc tous deux a ` deux.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss