Pour des raisons de syme ´trie, le champ re ´sultant est suivant Oz
(axe de syme ´trie). Seule la composante suivant u
!
z contribue au calcul
du champ re ´sultant. On a donc, avec l’angle que font u
!
r et u
!
z
(voir figure) :
dE z ðMÞ ¼ dE
!
ðMÞ:u
!
z ¼
s o dx
2pe o ðx 2 þ z 2 Þ
1=2
u
!
r :u
!
z
¼
s o dx
2pe o ðx 2 þ z 2 Þ
1=2
cos
Choix de la variable d’inte ´gration : x 2Š À ¥; þ¥½ou 2 ½Àp=2;
p=2Š
Relation entre les variables : tan ¼ x=z et dðtanÞ ¼
d
cos 2 ¼
dx
z
En remarquant que cos ¼
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x 2 þz 2
p
on obtient :
dE z ðMÞ ¼
s o dx
2pe o ðx 2 þ z 2 Þ
1=2
cos ¼
s o
2pe o
cos
z
zd
cos 2
cos ¼
s o
2pe o
d
EðzÞ ¼
ð þp=2
Àp=2
s o
2e o
d
p
¼
s o
2e o
p
þp=2
Àp=2
¼
s o
2e o
) E
!
ðMÞ ¼
s o
2e o
u
!
z
Le champ est uniforme et est perpendiculaire au plan
2.7 a) D’apre `s le cours ou l’exercice 2.6, le champ e ´lectrostatique
cre ´e ´ par un plan infini charge ´ uniforme ´ment avec une densite ´ de
charges s o est uniforme, est perpendiculaire au plan et a pour norme
s o
j j=2e o .
z
d
–d
0
–σ o
+σ o
–σ o
E o
→
E d
→
E d
→
E o
→
E –d
→
E d
→
E o
→
E –d
→
E d
→
E o
→
E –d
→
E d
→
E total
→
E total
→
E total
→
E total
→
Figure 2.36
Solutions
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