Le champ e ´lectrique est donne ´ par :
EðOÞ ¼
ð
couronne
dE bx ðOÞ ¼
ð
R 2
R 1
s o :dr
2pe o r
¼
s o
2pe o
½ln rŠ
R 2
R 1
¼
s o
2pe o
ln
R 2
R 1
Le champ re ´sultant est suivant u
!
x
Le potentiel e ´lectrique se de ´duit aise ´ment en conside ´rant la contribution de la bande semi-circulaire de rayon r et r+dr :
dVðOÞ ¼
s o dr
4e o
Le potentiel total est donne ´ par : VðOÞ ¼
Ð
R2
R1
s o :dr
4e o
¼
s o
4e o
ðR 2 À R 1 Þ
Application nume ´rique : La densite ´ de charge est donne ´e par :
s o ¼
2Q
pðR
2
2 À R
2
1 Þ
¼
2:0;5:10
À6
p:10
À4
ð144 À 100Þ
¼ 72;4:10
À6 C:m
À2
Le champ e ´lectrique est e ´gal a ` :
EðOÞ ¼
s o
2pe o
ln ðR 2 =R 1 Þ ¼ 1;3:10
6
:lnð1;2Þ
% 2;37:10
5 V:m
À1
Le potentiel est VðOÞ ¼
s o
4e o
ðR 2 À R 1 Þ ¼ 4:10
4 V
V(O) % 40 kV
2.6 a) Voir le calcul dans la partie cours (2.3.a).
Pour un fil infini, le champ est radial et a pour expression :
E
!
ðMÞ ¼
l o
2pe o r
u
!
r
b) En conside ´rant que le plan charge ´ avec la densite ´ surfacique s o
est compose ´ de bandes d’e ´paisseur dx assimilables a ` des fils charge ´s
avec la densite ´ l o . La correspondance entre les deux densite ´s de
charges est l o ¼ s o dx. Le champ e ´le ´mentaire cre ´e ´ par une bande
d’e ´paisseur dx est donc :
dE
!
ðMÞ ¼
s o dx
2pe o ðx 2 þ z 2 Þ
1=2
u
!
r
78
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques