champ e ´lectrique en O provient uniquement du conducteur en forme
de demi-cercle.
Soit l’e ´le ´ment de longueur Rd autour d’un point P qui porte la
charge dQ ¼ l o Rd (voir figure), le champ e ´lectrique e ´le ´mentaire
cre ´e ´ en O s’e ´crit avec u
! vecteur unitaire suivant PO :
dE
! ¼
l o Rd
4pe o R
2
u
!
Or pour des raisons de syme ´trie, le champ e ´lectrostatique est
oriente ´ selon l’axe Ox (axe de syme ´trie) : seule la composante suivant
Ox intervient dans la contribution du champ total. On a donc :
E
!
ðOÞ ¼ E x ðOÞ u
!
x avec
E x ðOÞ ¼
ð
ðdemiÀcercleÞ
dE
!
:u
!
x ¼
ð p=2
Àp=2
l o Rd
4pe o R
2
cos
¼
ð p=2
Àp=2
l o d
4pe o R
cos
E x ðOÞ ¼
l o
4pe o R
½sinŠ
þp=2
Àp=2 ¼
l o
2pe o R
b) Pour le potentiel e ´lectrique, il convient de noter la superposition
des trois contributions issues du demi-cercle et des deux tiges de
longueur L.
Pour le demi-cercle, le potentiel e ´le ´mentaire cre ´e ´ par la charge
dQ ¼ l o Rd est :
dV C ðOÞ ¼
l o Rd
4pe o R
L’inte ´gration sur la longueur du demi-cercle donne :
V C ðOÞ ¼
ð þp=2
Àp=2
l o
4e o
d
p
¼
l o
4e o
p
þp=2
Àp=2
¼
l o
4e o
;
Les deux tiges e ´tant identiques et aligne ´es, elles cre ´ent le me ˆme
potentiel que l’on de ´termine pour l’une d’entre elles.
y
dy
R+L
R
O
L
y
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques