b) Choix de l’origine des potentiels : pour r! þ ¥ on a Vð¥Þ ¼ 0
et donc la constante C est nulle. Le potentiel s’e ´crit alors :
Vðr; Þ ¼ k
cos
r 2
c) Le champ est tangent aux lignes de champ ce qui se traduit par :
E
! ¼ ad l
! ) E r u
!
r þ E u
!
¼ adru
!
r þ ardu
!
)
dr
E r
¼
rd
E
En reportant les expressions de E r et E dans cette e ´galite ´ on a :
r
3 dr
2k cos
¼
r
4 d
k sin
)
dr
r
¼
2 cos d
sin
¼ 2
dðsinÞ
sin
En inte ´grant :
ln r ¼ 2 ln sin þ C ¼ lnðsin
2
Þ þ ln K. L’e ´quation en coordonne ´es polaires des lignes de champ est : r ¼ K sin
2
.
d) On a r ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
x 2 þ y 2
p
, tan ¼
y
x , x ¼ r cos et y ¼ r sin
De plus : u
!
r ¼ cosu
!
x þ sinu
!
et u
!
¼ Àsinu
!
x þ cosu
!
On a donc :
E r u
!
r ¼
2k cos
r 3 ½cos u
!
x þ sin u
!
y Š ¼
2k
r 3
x
r
x
r
u
!
x þ
y
r
u
!
y
E r u
!
r ¼
2k
ðx 2 þ y 2 Þ
5=2
½x
2 u
!
x þ xyu
!
y Š
De me ˆme :
E u
!
¼
k sin
r 3 ½Àsin u
!
x þ cosu
!
y Š ¼
k
r 3
y
r
À
y
r
u x
! þ
x
r
u
!
y
E u
!
¼
k
ðx 2 þ y 2 Þ
5=2
½Ày
2 u
!
x þ xy u
!
y Š
Soit :E
! ¼
k
ðx 2 þ y 2 Þ
5=2
½ð2x
2
À y
2
Þ u
!
x þ 3xyu
!
y Š
2.4 a) Les deux tiges rectilignes de longueur L cre ´ent au point O, des
champs e ´lectriques d’e ´gale intensite ´ mais de sens oppose ´. Ainsi, le
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