2.2 a) Les lignes du champ e ´lectrostatique (traits noirs)
sont perpendiculaires aux lignes e ´quipotentielles (traits rouges).
Elles sont oriente ´es dans le sens des potentiels de ´croissants
( figure 2.34).
b) L’intensite ´ du champ e ´lectrique est de ´fini par DV=Dl avec DV la
diffe ´rence de potentiel entre deux points distants de Dl. On constate sur
la figure 2.34 l’existence de re ´gions ou ` DV est constante. Ces lignes
sont plus resserre ´es au centre (Dl faible) et plus disperse ´es a ` la
pe ´riphe ´rie (Dl grand) ; d’ou ` les de ´limitations champs faibles et champs
forts reporte ´es sur la figure.
2.3 Notion de Champ, Potentiel et Gradient
a) D’apre `s la de ´finition du gradient en coordonne ´es polaires on peut
e ´crire, si le champ E
!
de ´rive d’une fonction scalaire V : E
! ¼ Àgrad
ƒƒ! V
E r ¼ À
qV
qr
¼ 2k cos=r
3 et E ¼ À
1
r
qV
q
¼ k sin=r
3
qV
qr
¼ À2k
cos
r 3 ) Vðr; Þ ¼ k
cos
r 2 þ f ðÞ:
À
1
r
qV
q
¼ À
1
r
q
q
k cos
r 2 þ f ðÞ
¼
k sin
r 3 À
df ðÞ
rd
¼
k sin
r 3
On en de ´duit que
df ðÞ
d ¼ 0 ) f ðÞ ¼ C (constante)
Il existe bien une fonction Vðr; Þ ¼ k
cos
r 2 þ C telle que
E
! ¼ Àgrad
ƒƒ!
V
équipotentielles
E
→
E
→
Région de forts champs
électriques
Région de faibles champs
électriques
V 1
V 2
V 3
V 4
V 0
Figure 2.34
74
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques