a) Dessiner qualitativement mais de fa¸ con concise les lignes du
champ e ´lectrostatique sur la figure en pre ´cisant leurs orientations.
b) Pre ´ciser sur le sche ´ma les re ´gions ou ` le champ e ´lectrostatique est
le plus intense et celles ou ` il est moins intense. Justifier soigneusement
votre analyse de la cartographie.
2.3 Notion de Champ, Potentiel et Gradient
Soit un champ de vecteurs de ´fini en un point M(r, ) par ses
composantes en coordonne ´es polaires : E r ¼ 2kcos=r
3 et E ¼
ksin=r
3 ou ` k est une constante.
a) Montrer que ce champ de vecteurs est le gradient d’une fonction
scalaire Vðr; Þ. L’expression du gradient en coordonne ´es polaires est :
grad
À !
Vðr; Þ ¼
qV
qr
u
!
r þ
1
r
qV
q
u
!
b) De ´terminer la fonction Vðr; Þ (on prendra Vð¥Þ ¼ 0).
c) De ´terminer l’e ´quation des lignes de Champ en coordonne ´es polaires.
d) Exprimer le champ de vecteurs en fonction des coordonne ´es
carte ´siennes.
2.4 Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s par une
distribution line ´ ique de charges l o
Un conducteur est constitue ´ de deux brins rectilignes de longueur L et
d’un demi-cercle de centre O et de rayon R (voir figure 2.30). Une
charge e ´lectrique est uniforme ´ment re ´partie sur le conducteur avec la
densite ´ uniforme l o .
De ´terminer le champ et le potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s par le
conducteur en O (voir figure 2.31).
2.5 Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s par une
distribution surfacique de charges s o
Dans le cas d’un conducteur plan de ´limite ´ par deux demi-cercles
concentriques, de rayon R 1 et R 2 , de ´terminer le champ et le potentiel
au centre O (voir figure 2.31).
équipotentielles
V 1
V 2
V 3
V 4
V 0
Figure 2.29
70
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques