L’inte ´grale sur la variable z variant de ÀR a ` +R permet de de ´duire le
champ e ´lectrique total en notant que r varie avec z.
La me ´thode de ´veloppe ´e dans ce chapitre permet de calculer la cartographie du champ ou du potentiel e ´lectrostatique cre ´e ´ par des syste `mes
charge ´s avec diffe ´rentes ge ´ome ´tries. La complexite ´ de la me ´thode tient
aux difficulte ´s du calcul analytique. Cependant, pour des points appartenant aux e ´le ´ments de syme ´trie du syste `me de charges, le calcul du
champ et du potentiel e ´lectrostatique peut e ˆtre effectue ´ de fa¸ con plus
aise ´e. En dehors de ces points particuliers, des outils nume ´riques peuvent e ˆtre utilise ´es pour de ´terminer la cartographie des lignes du champ
et potentiel. Une autre me ´thode qui sera de ´veloppe ´e plus loin et qui
repose sur le the ´ore `me de Gauss permet d’e ´tablir facilement la cartographie e ´lectrique autour de corps charge ´s pre ´sentant des syme ´tries
e ´leve ´es comme par exemple la syme ´trie sphe ´rique ou cylindrique.
POINTS-CLE ´ S
➤ Champ e ´lectrostatique cre ´e ´ en M par une charge ponctuelle en O :
E
! ðMÞ ¼
Q
4pe o
u
!
r
r 2 avec r ¼ OM et u
!
r ¼ OM
! =r
➤ Potentiel e ´lectrostatique cre ´e ´ en M par une charge ponctuelle en O
VðMÞ ¼
Q
4pe o r
avec potentiel nul a l’infini
Le potentiel est de ´fini a ` une constante pre `s de ´pendant du choix de
l’origine des potentiels.
➤ De ´finition du potentiel :
Diffe ´rentielle : dVðMÞ ¼ ÀE
! ðMÞ:d l
!
Locale : E
!
ðMÞ ¼ Àgrad
! V
Inte ´grale :
Ð M 2
M 1
E
!
ðMÞ:d l
! ¼ À
Ð M 2
M 1
dV ¼ VðM 1 Þ À VðM 2 Þ
La circulation du champ e ´lectrostatique sur un contour ferme ´ est
nulle : le champ e ´lectrostatique est a ` circulation conservative.
➤ Syme ´trie :
Si le point M appartient a ` :
➤ un plan de syme ´trie des charges alors E
! ðMÞ est dans le plan
➤ un plan d’anti-syme ´trie des charges alors E
!
ðMÞ est perpendiculaire
au plan et le potentiel est nul
➤ deux plans de syme ´trie des charges alors E
!
ðMÞ est suivant la droite
commune au deux plans
68
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques
champ e ´lectrique total en notant que r varie avec z.
La me ´thode de ´veloppe ´e dans ce chapitre permet de calculer la cartographie du champ ou du potentiel e ´lectrostatique cre ´e ´ par des syste `mes
charge ´s avec diffe ´rentes ge ´ome ´tries. La complexite ´ de la me ´thode tient
aux difficulte ´s du calcul analytique. Cependant, pour des points appartenant aux e ´le ´ments de syme ´trie du syste `me de charges, le calcul du
champ et du potentiel e ´lectrostatique peut e ˆtre effectue ´ de fa¸ con plus
aise ´e. En dehors de ces points particuliers, des outils nume ´riques peuvent e ˆtre utilise ´es pour de ´terminer la cartographie des lignes du champ
et potentiel. Une autre me ´thode qui sera de ´veloppe ´e plus loin et qui
repose sur le the ´ore `me de Gauss permet d’e ´tablir facilement la cartographie e ´lectrique autour de corps charge ´s pre ´sentant des syme ´tries
e ´leve ´es comme par exemple la syme ´trie sphe ´rique ou cylindrique.
POINTS-CLE ´ S
➤ Champ e ´lectrostatique cre ´e ´ en M par une charge ponctuelle en O :
E
! ðMÞ ¼
Q
4pe o
u
!
r
r 2 avec r ¼ OM et u
!
r ¼ OM
! =r
➤ Potentiel e ´lectrostatique cre ´e ´ en M par une charge ponctuelle en O
VðMÞ ¼
Q
4pe o r
avec potentiel nul a l’infini
Le potentiel est de ´fini a ` une constante pre `s de ´pendant du choix de
l’origine des potentiels.
➤ De ´finition du potentiel :
Diffe ´rentielle : dVðMÞ ¼ ÀE
! ðMÞ:d l
!
Locale : E
!
ðMÞ ¼ Àgrad
! V
Inte ´grale :
Ð M 2
M 1
E
!
ðMÞ:d l
! ¼ À
Ð M 2
M 1
dV ¼ VðM 1 Þ À VðM 2 Þ
La circulation du champ e ´lectrostatique sur un contour ferme ´ est
nulle : le champ e ´lectrostatique est a ` circulation conservative.
➤ Syme ´trie :
Si le point M appartient a ` :
➤ un plan de syme ´trie des charges alors E
! ðMÞ est dans le plan
➤ un plan d’anti-syme ´trie des charges alors E
!
ðMÞ est perpendiculaire
au plan et le potentiel est nul
➤ deux plans de syme ´trie des charges alors E
!
ðMÞ est suivant la droite
commune au deux plans
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques