a ` exprimer le champ e ´lectrostatique cre ´e ´ par ce cylindre en un point M
de son axe repe ´re ´ par son abscisse note ´e Z.
Le cylindre e ´tant de ´coupe ´ en tranches d’e ´paisseur dz situe ´es a `
l’abscisse z (voir figure 2.27), on a :
dE
!
trancheðdzÞ ðZÞ ¼
rdz
2e o
ðZ À zÞ
Z À z
j
j
À
Z À z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ðZ À zÞ
2
þ R
2
q
0
B
@
1
C
Au
!
z
Le champ total s’obtient par inte ´gration sur z variant entre Àh/2
et h/2.
➤ Cas de la sphe `re
Soit une sphe `re de rayon R et de centre O. On cherche le champ en
un point M quelconque de l’espace. On de ´finit alors un axe Oz
confondu avec OM et on repe `re M par son abscisse Z. On de ´compose
alors la sphe `re en disques de rayon r, d’e ´paisseur dz a ` l’abscisse z (voir
figure 2.27). Le champ e ´le ´mentaire en M cre ´e ´ par un disque est :
dE
!
trancheðdzÞ ðzÞ ¼
rdz
2e o
ðZ À zÞ
Z À z
j
j
À
Z À z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ðZ À zÞ
2
þ r 2
q
0
B
@
1
C
Au
!
z
O
R
M(Z)
z
dz
z
0
R
–R
r
M(Z)
z
O
h/2
–h/2
R
z
0
dz
Figure 2.27 De ´composition d’un cylindre et d’une sphe `re en disque
d’e ´paisseur dz. Le champ re ´sultant en M est la contribution de tous les disques
constituant le cylindre ou la sphe `re.
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
67