est donc suivant la direction de cette droite c’est-a `-dire :
E
!
ðMÞ ¼ Eðx; y; zÞ u
!
z
Pour toute translation paralle `lement au plan, il y a invariance : le
champ et le potentiel ne de ´pendent pas des variables x et y :
E
!
ðMÞ ¼ EðzÞu
!
z et VðMÞ ¼ VðzÞ
Pour obtenir l’expression du champ e ´lectrostatique, il suffit de prendre l’expression du champ cre ´e ´ par un disque de rayon R en un point
M sur son axe (z > 0) et de chercher la limite quand R tend vers
l’infini :
E plan ðzÞ ¼ lim
R!¥
E disqueðRÞ ðzÞ ¼ lim
R!¥
s o
2e o
1 À
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
!
¼
s o
2e o
On constate que le champ est uniforme. Par syme ´trie on a :
pour z < 0 E
!
plan ¼ À
s o
2e o
u
!
z
pour z > 0 E
!
plan ¼
s o
2e o
u
!
z
Les lignes de champs sont des droites perpendiculaires au plan charge ´
uniforme ´ment (voir figure 2.26).
M
z
u x
→
u y
→
u z
→
O
Plan chargé :
Plan de symétrie
Droite perpendiculaire au
plan : axe de symétrie
M’ symétrique de M/plan chargé
E(M') = –E(M)
→
→
E(M) = E(z)u z
→
→
Figure 2.24 E ´ le ´ments de syme ´trie pour un plan infini charge ´ uniforme ´ment.
Le plan e ´tant infini, il y a invariance par translation paralle `lement au plan : champ
et potentiel ne de ´pendent pas des variables x et y.
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques