➤ Calcul direct (me ´thode d’inte ´gration directe)
La me ˆme proce ´dure applique ´e pour calculer le champ e ´lectrostatique
s’applique pour le potentiel. On de ´coupe autour d’un point P appartenant au disque une surface e ´le ´mentaire dS qui porte la charge
dq ¼ s o dS. Elle cre ´e en M un potentiel e ´lectrostatique e ´le ´mentaire :
dV P ðMÞ ¼
1
4pe o
s o dS
PM
avec potentiel nul a l’infini:
Cette expression est identique pour l’ensemble des points P situe ´s sur
une couronne de rayon r et d’e ´paisseur e ´le ´mentaire dr dont la surface
e ´le ´mentaire s’e ´crit : dS ¼ 2pr dr. Le potentiel e ´le ´mentaire cre ´e ´ par
cette couronne est donne ´ par l’expression :
dV couronneðrÞ ðMÞ ¼
1
4pe o
s o 2pr dr
PM
¼
s o
2e o
rdr
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 þ z 2
p
Le potentiel cre ´e ´ par le disque s’obtient par inte ´gration sur r variant
de 0 a ` R :
V disqueðRÞ ðMÞ ¼
ð R
0
dV couronneðrÞ ¼
s o
2e o
ð R
0
rdr
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 þ z 2
p
Avec
Ð zdz
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þR
2
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
(voir pre ´ce ´demment), on a :
V disqueðRÞ ðzÞ ¼
s o
2e o
½
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ r 2
p
Š
R
0 ¼
s o
2e o
ð
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À
ffiffiffiffi ffi
z 2
p Þ
Soit pour tout z, et avec le potentiel nul a ` l’infini, on obtient
l’expression finale :
V disqueðRÞ ðzÞ ¼
s o
2e o
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À z
j j
c) Cas d’un plan infini charge ´ uniforme ´ ment en surface
Conside ´rons un plan (O, x, y) charge ´ uniforme ´ment (voir figure 2.24).
Ce plan est un plan de syme ´trie pour les charges ce qui donne pour
deux points M et M’ syme ´triques :
VðMÞ ¼ VðM
0 Þ et E
!
ðMÞ ¼ ÀE
!
ðM
0 Þ
Toute droite perpendiculaire au plan passant par un point M (droite
paralle `le a ` l’axe Oz) est un axe de syme ´trie. Le champ e ´lectrostatique
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
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