On peut donc e ´crire pour tout z :
EðzÞ ¼
s o
2e o
z
z
j j
À
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
!
Calcul du potentiel e ´ lectrostatique V(M), sur l’axe Oz
➤
A partir du champ e ´lectrostatique (z > 0)
La relation diffe ´rentielle entre le potentiel et le champ e ´lectrostatique
donne :
dV ¼ ÀE
!
ðzÞ:d l
! ¼ ÀEðzÞu
!
z :dzu
!
z ¼ ÀEðzÞdz
¼ À
s o
2e o
1 À
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
!
dz
En posant le changement de variable u ¼ z
2
þ R
2 et donc du ¼ 2zdz,
on a :
ð
zdz
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
¼
1
2
ð du
ffiffi ffi
u
p ¼
1
2
ð
u
À1=2 du ¼ u
1=2
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
Le potentiel s’e ´crit donc, pour z > 0 :
VðzÞ ¼
s o
2e o
ð
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À 1
!
dz ¼
s o
2e o
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À z
þ V o
Si on choisit de prendre le potentiel nul a ` l’infini (Vðz ! ¥Þ ¼ 0)
la constante V o est nulle.
VðzÞ ¼
s o
2e o
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À z
Remarque :
Pour z < 0, par syme ´trie par rapport au plan contenant le disque on a :
V(z) = V(-z) (fonction paire).
On peut donc e ´crire pour tout z :
VðzÞ ¼
s o
2e o
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
À z
j j
62
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques