Avec la variable r, on a :
PM
2
¼ r
2
þ z
2 et cosa ¼
z
PM ¼
z
ffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
r 2 þz 2
p
soit :
dE Pz ðMÞ ¼
s o
2e o
rz
ðr 2 þ z 2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 þ z 2
p
dr ¼
s o
2e o
z
rdr
ðr 2 þ z 2 Þ
3=2
Avec la variable a, on a :
tana ¼
r
z
)
1
cos 2 a
da ¼
dr
z
) cosa dr ¼
z
cosa
da
cosa ¼
z
PM
)
1
PM
2
¼
cos
2
a
z 2
dE Pz ðMÞ ¼
s o
2e o
cos
2
a
z 2
zr
cosa
da ¼
s o
2e o
r
z
cosa da
dE Pz ðMÞ ¼
s o
2e o
tana cosa da ¼
s o
2e o
sina da
Le champ re ´sultant s’e ´crit alors :
EðMÞ ¼ EðzÞ ¼
s o
2e o
z
ð R
0
ðr
2
þ z
2
Þ
À3=2 rdr
ou :
EðMÞ ¼ EðzÞ ¼
s o
2e o
ð b
0
sina da
L’expression en fonction de l’angle donne directement :
EðMÞ ¼ EðzÞ ¼
s o
2e o
½ÀcosaŠ
b
0 ¼
s o
2e o
ð1 À cosbÞ
Avec cosb ¼ z=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
, l’expression en fonction du rayon R est :
EðzÞ ¼
s o
2e o
1 À
z
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
!
Pour z < 0, par syme ´trie par rapport au plan contenant le disque on a :
E
! ðzÞ ¼ ÀE
!
ðÀzÞ soit : EðzÞ ¼ À
s o
2e o
1 À
Àz
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2 þ R
2
p
!
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
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